《2025年高考帮数学》

指数函数$y = a^{x}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$与对数函数$y = \log_{a}x(a ＞ 0$，且$a\neq1)$互为反函数，它们的图象关于直线⑳____对称(如图所示). 反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域，互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性.

答案： ⑳$y = x$

1.[全国卷Ⅰ]设$a\log_{3}4 = 2$，则$4^{-a}=$ ( )
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 1.B 解法一 因为$a\log_{3}4 = 2$，所以$\log_{3}4^{a}=2$，则有$4^{a}=3^{2}=9$，所以$4^{-a}=\frac{1}{4^{a}}=\frac{1}{9}$，故选 B.
解法二 因为$a\log_{3}4 = 2$，所以$a = \frac{2}{\log_{3}4}=\frac{\log_{3}9}{\log_{3}4}=\log_{4}9$，所以$4^{a}=9$，所以$4^{-a}=\frac{1}{4^{a}}=\frac{1}{9}$，故选 B.

2.[多选]以下说法正确的是 ( )
A. 若$MN ＞ 0$，则$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$
B. 对数函数$y = \log_{a}x(a ＞ 0且a\neq1)$在$(0, +\infty)$上是增函数
C. 函数$y = \ln\frac{1 + x}{1 - x}$与$y = \ln(1 + x)-\ln(1 - x)$的定义域相同
D. 对数函数$y = \log_{a}x(a ＞ 0且a\neq1)$的图象过定点$(1,0)$且过点$(a,1),(\frac{1}{a}, -1)$，函数图象只在第一、四象限

答案： 2.CD

3.$\lg25+\lg2\cdot\lg50+(\lg2)^{2}=$____.

答案： 3.2

4.若$\log_{a}\frac{3}{4}＜1(a ＞ 0$，且$a\neq1)$，则实数$a$的取值范围是____.

答案： 4.$(0,\frac{3}{4})\cup(1, +\infty)$

5.设$\log_{a}2 = m$，$\log_{a}3 = n$，则$a^{2m + n}$的值为____.

答案： 5.12

6.[2023北京高考]已知函数$f(x)=4^{x}+\log_{2}x$，则$f(\frac{1}{2})=$____.

答案： 6.1 因为$f(x)=4^{x}+\log_{2}x$，所以$f(\frac{1}{2})=4^{\frac{1}{2}}+\log_{2}\frac{1}{2}=2+\log_{2}2^{-1}=2 - 1 = 1$.

例1 （1）[2022天津高考]化简(2log₄3 + log₈3)(log₃2 + log₉2)的值为 （ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
（2）[2022浙江高考]已知2ᵃ = 5，log₈3 = b，则4ᵃ⁻³ᵇ = （ ）
A.25 B.5 C.$\frac{25}{9}$ D.$\frac{5}{3}$

答案：
(1)B $(2\log _{4}3+\log _{64}3)(\log _{3}2+\log _{27}2)=(2\log _{2^{2}}3+\log _{2^{6}}3)\times(\log _{3}2+\log _{3^{3}}2)=(\log _{2}3+\frac{1}{3}\log _{2}3)(\log _{3}2+\frac{1}{2}\log _{3}2)=\frac{4}{3}\times\log _{2}3\times\frac{3}{2}\times\log _{3}2 = 2$，故选B.
(2)C 由$2^{a}=5$得$a = \log _{2}5$。又$b=\log _{8}3=\frac{\log _{2}3}{\log _{2}8}=\frac{1}{3}\log _{2}3$，所以$a - 3b=\log _{2}5-\log _{2}3=\log _{2}\frac{5}{3}=\frac{\log _{4}\frac{5}{3}}{\log _{4}2}=2\log _{4}\frac{5}{3}=\log _{4}\frac{25}{9}$，所以$4^{a - 3b}=4^{\log _{4}\frac{25}{9}}=\frac{25}{9}$，故选C。