《2025年高考帮数学》

例4 （1）[2022北京高考]已知函数$f(x)=\cos^{2}x - \sin^{2}x$，则（ ）
A. $f(x)$在$(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$上单调递减
B. $f(x)$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$上单调递增
C. $f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递减
D. $f(x)$在$(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$上单调递增
（2）[全国卷Ⅱ]若$f(x)=\cos x - \sin x$在$[-a,a]$上是减函数，则$a$的最大值是（ ）
A. $\frac{\pi}{4}$ B. $\frac{\pi}{2}$ C. $\frac{3\pi}{4}$ D. $\pi$

答案：
(1)C 依题意可知$f(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x$，对于A，因为$x\in (-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$，所以$2x\in (-\pi,-\frac{\pi}{3})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$上单调递增，所以A不正确；对于B，因为$x\in (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$，所以$2x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$上不单调，所以B不正确；对于C，因为$x\in (0,\frac{\pi}{3})$，所以$2x\in (0,\frac{2\pi}{3})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递减，所以C正确；对于D，因为$x\in (\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$，所以$2x\in (\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$上不单调，所以D不正确。故选C。
(2)A $f(x)=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$，因为函数$y = \cos x$在区间$[0,\pi]$上单调递减，则由$0\leqslant x+\frac{\pi}{4}\leqslant \pi$，得$-\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3\pi}{4}$。因为$f(x)$在$[-a,a]$上是减函数，$|-\frac{\pi}{4}|＜\frac{3\pi}{4}$，所以$-a\geqslant -\frac{\pi}{4}$，解得$a\leqslant \frac{\pi}{4}$。又区间$[-a,a]$有意义时，$a ＞ 0$，所以$0 ＜ a\leqslant \frac{\pi}{4}$，所以$a$的最大值是$\frac{\pi}{4}$。

例5 （1）[2022全国卷甲]将函数$f(x)=\sin(\omega x + \frac{\pi}{3})(\omega ＞ 0)$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度后得到曲线$C$，若$C$关于$y$轴对称，则$\omega$的最小值是（ ）
A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$
（2）[2022新高考卷Ⅰ]记函数$f(x)=\sin(\omega x + \frac{\pi}{4}) + b(\omega ＞ 0)$的最小正周期为$T$. 若$\frac{2\pi}{3} ＜ T ＜ \pi$，且$y = f(x)$的图象关于点$(\frac{3\pi}{2},2)$中心对称，则$f(\frac{\pi}{2}) =$（ ）
A. $1$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $3$

答案：
(1)C 记曲线$C$的函数解析式为$g(x)$，则$g(x)=\sin[\omega(x+\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{3}]=\sin[\omega x+(\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{3})]$。因为函数$g(x)$的图象关于$y$轴对称，所以$\frac{\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in \mathbf{Z})$，得$\omega = 2k+\frac{1}{3}(k\in \mathbf{Z})$。因为$\omega ＞ 0$，所以$\omega_{\min}=\frac{1}{3}$。故选C。
(2)A 因为$\frac{2\pi}{3}＜T＜\pi$，所以$\frac{2\pi}{3}＜\frac{2\pi}{\omega}＜\pi$，解得$2 ＜ \omega ＜ 3$。因为$y = f(x)$的图象关于点$(\frac{3\pi}{2},2)$中心对称，所以$b = 2$，且$\sin(\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4})+b = 2$，即$\sin(\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4}) = 0$，所以$\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4}=k\pi(k\in \mathbf{Z})$，又$2 ＜ \omega ＜ 3$，所以$\frac{13\pi}{4}＜\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4}＜\frac{19\pi}{4}$，所以$\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4}=4\pi$，解得$\omega=\frac{5}{2}$，所以$f(x)=\sin(\frac{5}{2}x+\frac{\pi}{4})+2$，所以$f(\frac{\pi}{2})=\sin(\frac{5}{2}\times\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})+2=\sin \frac{3\pi}{2}+2 = 1$。故选A。