《2025年高考帮数学》

训练4 [2023山东青岛二中5月模拟]如图，在四边形ABCD中，∠B = 60°，AB = 3，BC = 6，且$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}$，则实数$\lambda$的值为_______，若M,N是线段BC上的动点，且$|\overrightarrow{MN}| = 1$，则$\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}$的最小值为_______.

答案： $\frac{1}{6}$ $\frac{13}{2}$ 依题意得$AD// BC$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，由$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AD}|\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot\cos\angle BAD=-\frac{3}{2}|\overrightarrow{AD}|=-\frac{3}{2}$，得$|\overrightarrow{AD}| = 1$，因此$\lambda=\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{1}{6}$。取MN的中点E，连接DE，则$\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}[(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DN})^{2}-(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DN})^{2}]=\overrightarrow{DE}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{NM}^{2}=\overrightarrow{DE}^{2}-\frac{1}{4}$。注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即$AB\cdot\sin B=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，因此$\overrightarrow{DE}^{2}-\frac{1}{4}$的最小值为$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}-\frac{1}{4}=\frac{13}{2}$，即$\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}$的最小值为$\frac{13}{2}$。

例1 在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点. 若∠BAC = $\frac{\pi}{6}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN}$取最小值时，BC = （ ）
A. 2
B. 4
C. 2$\sqrt{3}$
D. 4$\sqrt{3}$

答案： 突破1　平面向量中的综合问题
例1A设△ABC的内角∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由题意知,$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\cdot\sin\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$,$\therefore bc = 4\sqrt{3}$,$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cdot\cos\frac{\pi}{6}=6$.$\because M$为$BC$的中点,$N$为$BM$的中点,故$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})\cdot(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC})=\frac{1}{8}b^{2}+\frac{3}{8}c^{2}+3\geqslant2\sqrt{\frac{1}{8}\times\frac{3}{8}\cdot bc}+3 = 6$,当且仅当$b=\sqrt{3}c$,即$b = 2\sqrt{3}$,$c = 2$时等号成立,$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$取到最小值,此时$a=\sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc\cdot\cos\frac{\pi}{6}}=2$,即$BC = 2$.故选A.

例2 [多选/2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，点P₁（cos α，sin α），P₂（cos β， - sin β），P₃（cos(α + β)，sin(α + β)），A(1,0)，则（ ）
A. |$\overrightarrow{OP_{1}}$| = |$\overrightarrow{OP_{2}}$|
B. |$\overrightarrow{AP_{1}}$| = |$\overrightarrow{AP_{2}}$|
C. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP_{3}}$ = $\overrightarrow{OP_{1}} \cdot \overrightarrow{OP_{2}}$
D. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OP_{1}}$ = $\overrightarrow{OP_{2}} \cdot \overrightarrow{OP_{3}}$

答案： 例2AC　由题可知,$|\overrightarrow{OP_{1}}|=\sqrt{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=1$,$|\overrightarrow{OP_{2}}|=\sqrt{\cos^{2}\beta+(-\sin\beta)^{2}}=1$,所以$|\overrightarrow{OP_{1}}| = |\overrightarrow{OP_{2}}|$,故A正确;
取$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则$P_{1}(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,取$\beta=\frac{5\pi}{4}$,则$P_{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,则$|\overrightarrow{AP_{1}}|\neq|\overrightarrow{AP_{2}}|$,故B错误;
因为$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\cos(\alpha+\beta)$,$\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)$,所以$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}$,故C正确;
因为$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=\cos\alpha$,$\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\cos\beta\cos(\alpha+\beta)-\sin\beta\sin(\alpha+\beta)=\cos(\alpha + 2\beta)$,取$\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{4}$,(用取特殊值法进行排除)
则$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_{1}}\neq\overrightarrow{OP_{2}}\cdot\overrightarrow{OP_{3}}$,故D错误.故选AC.

例3 [2023辽宁省实验中学第五次模拟]已知向量b,c和单位向量a满足|a - b| = 2|b|，|c - a| + |c + a| = 4，则b·c的最大值为（ ）
A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案：
例3C设$\boldsymbol{a}=(1,0)$,$\boldsymbol{b}=(x,y)$,由$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{b}|$可得$(x - 1)^{2}+y^{2}=4(x^{2}+y^{2})$,化简可得$3x^{2}+3y^{2}+2x - 1 = 0$,即$(x+\frac{1}{3})^{2}+y^{2}=\frac{4}{9}$.设$\boldsymbol{c}=(x_{0},y_{0})$,则由$|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}| = 4$,可得$\sqrt{(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}}+\sqrt{(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}}=4$,故点$(x_{0},y_{0})$的轨迹是以$(-1,0)$,$(1,0)$为焦点,长轴$2a = 4$的椭圆,其方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
设$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$夹角为$\theta$,则$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\cos\theta$,
如图，由圆与椭圆的性质可得,$|\boldsymbol{b}|\leqslant\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$,$|\boldsymbol{c}|\leqslant2$,$\cos\theta\leqslant1$,三者可同时取等号,故当$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$同向且方向与$x$轴正方向相反时,$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$取得最大值2.

故选C.

训练1 (1)[全国卷Ⅰ]设抛物线C:y² = 4x的焦点为F，过点( - 2,0)且斜率为$\frac{2}{3}$的直线与C交于M，N两点，则$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN}$ = （ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： 训练1
(1)D　过点$(-2,0)$且斜率为$\frac{2}{3}$的直线方程为$y=\frac{2}{3}(x + 2)$,由$\begin{cases}y=\frac{2}{3}(x + 2)\\y^{2}=4x\end{cases}$,消元整理得$x^{2}-5x + 4 = 0$,解得$x = 1$或$x = 4$,所以$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 4\end{cases}$.不妨设$M(1,2)$,$N(4,4)$,易知$F(1,0)$,所以$\overrightarrow{FM}=(0,2)$,$\overrightarrow{FN}=(3,4)$,所以$\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=8$.故选D.

训练1 (2)[多选/2023广东汕头二模]在△ABC中，已知AB = 2，AC = 5，∠BAC = 60°，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A. AM = $\frac{\sqrt{39}}{2}$
B. BN = $\frac{\sqrt{21}}{2}$
C. cos∠MPN = $\frac{\sqrt{21}}{21}$
D. $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$ = 0

答案：
(2)ABD因为$M$是$BC$的中点,所以$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.
对于A,$AM = |\overrightarrow{AM}|=\frac{1}{2}\sqrt{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=\frac{\sqrt{39}}{2}$,故A正确.
对于B,$BN = |\overrightarrow{BN}|=\sqrt{(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}^{2}+\overrightarrow{AB}^{2}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$,故B正确.
对于C,$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}|\overrightarrow{AC}|^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^{2}=3$,$\cos\angle MPN=\cos\langle\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BN}\rangle=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BN}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{BN}|}=\frac{4\sqrt{91}}{91}$,故C错误.
对于D,由题意知,$P$为△ABC的重心,则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=0$,故D正确.
故选ABD.

例4 [2023福建省宁德市模拟]在平面直角坐标系xOy中，点P为圆O:x² + y² = 1上的任意一点，点A(2,0)，B( - 1,1)，若$\overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}$，则2λ + μ的最大值为（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{6}$

答案： 例4C　由已知可设点$P(\cos\theta,\sin\theta)$,则$\overrightarrow{OP}=(\cos\theta,\sin\theta)$,又$\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}=(2\lambda-\mu,\mu)$,$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$,所以$\begin{cases}2\lambda-\mu=\cos\theta\\\mu=\sin\theta\end{cases}$,即$\begin{cases}\lambda=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{2}\\\mu=\sin\theta\end{cases}$,所以$2\lambda+\mu=2\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)$,其中$\tan\varphi=\frac{1}{2}$,当$\sin(\theta+\varphi)=1$时,$2\lambda+\mu$取得最大值$\sqrt{5}$.故选C.

例5 [新高考卷Ⅰ]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}$的取值范围是（ ）
A. ( - 2,6)
B. ( - 6,2)
C. ( - 2,4)
D. ( - 4,6)

答案：
例5A　解法一　$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle PAB=2|\overrightarrow{AP}|\cdot\cos\angle PAB$,又$|\overrightarrow{AP}|\cos\angle PAB$表示$\overrightarrow{AP}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影数量,所以结合图形可知(图略),当$P$与$C$重合时投影数量最大,当$P$与$F$重合时投影数量最小.又$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=2\sqrt{3}\times2\times\cos30^{\circ}=6$,$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times2\times\cos120^{\circ}=-2$,故当点$P$在正六边形$ABCDEF$内部运动时,$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}\in(-2,6)$.故选A.
解法二　以$A$为原点建立平面直角坐标系,如图所示,设点$P(x,y)$,则$\overrightarrow{AP}=(x,y)$,$\overrightarrow{AB}=(2,0)$,$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=(x,y)\cdot(2,0)=2x$,易知$x\in(-1,3)$,所以$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}\in(-2,6)$.

故选A.