《2025年高考帮数学》

训练2 （1）[2023广东深圳统考]荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目. 据现有文献记载，秋千源自先秦. 位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为$85^{\circ}$，则该秋千最大摆角所对的弧长为 （ ）
A.$\frac{68\pi}{9}$米
B.$\frac{34\pi}{9}$米
C. 13.6米
D. 198米
（2）[2024河北张家口期中]
如图，已知扇形的周长为6， 当该扇形的面积取最大值时，弦长$AB =$ （ ）

A. 3sin 1
B. 3sin 2
C. 3sin 1°
D. 3sin 2°

答案：
（1）B　由题意得最大摆角，即圆心角$|\alpha|=\frac{85\pi}{180}=\frac{17\pi}{36}$，半径$R = 8$，由弧长公式可得$l = |\alpha|\cdot R=\frac{17\pi}{36}\times8=\frac{34\pi}{9}$(米).故选B.
(2)A设扇形的圆心角为$\alpha(\alpha ＞ 0)$，半径为$r$，弧长为$l$，则$l + 2r = 6$，$l = 6 - 2r$，由$\begin{cases}r ＞ 0\\l = 6 - 2r ＞ 0\end{cases}$，可得$0 ＜ r ＜ 3$，所以扇形的面积为$S=\frac{1}{2}lr=(3 - r)r\leq(\frac{3 - r + r}{2})^2=\frac{9}{4}$，当且仅当$3 - r = r$，即$r=\frac{3}{2}$时，扇形的面积$S$最大，此时$l = 6 - 2r = 3$.因为$l = \alpha r$，所以扇形的圆心角$\alpha=\frac{l}{r}=\frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$.如图，取线段$AB$的中点$E$，连接$OE$，由垂径定理可知$OE\perp AB$，因为$OA = OB$，所以$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\times2 = 1$，所以$AB = 2AE = 2OA\sin1 = 3\sin1$.

故选A.

例3 [2023南京江宁区模拟]在平面直角坐标系中，角$\alpha$的顶点在坐标原点，始边在$x$轴的非负半轴上，终边过点$(x,4)$且$\tan(-\pi + \alpha) = -2$，则$\cos\alpha =$ （ ）
A.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案：
∵角$\alpha$的终边过点$(x,4)$且$\tan(-\pi+\alpha)=\tan\alpha=-2$，
∴$\frac{4}{x}=-2$，
∴$x = -2$，
∴$\cos\alpha=\frac{-2}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，故选B.

训练3 已知角$\alpha$的终边经过点$P(-1,m)$，且$\sin\alpha = -\frac{3}{5}$，则$\tan\alpha$的值是 （ ）
A.$\pm\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案：
∵角$\alpha$的终边经过点$P(-1,m)$，
∴$\sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m^2 + 1}}=-\frac{3}{5}$，解得$m = -\frac{3}{4}$，
∴$\tan\alpha=-m=\frac{3}{4}$.故选B.

例4 （1）[全国卷Ⅱ]若$\alpha$为第四象限角，则 （ ）
A.$\cos2\alpha ＞ 0$
B.$\cos2\alpha ＜ 0$
C.$\sin2\alpha ＞ 0$
D.$\sin2\alpha ＜ 0$
（2）已知角$\alpha$的顶点在坐标原点，始边与$x$轴非负半轴重合，终边在直线$y = 3x$上，且$\sin\alpha ＜ 0$，$P(m,n)$是角$\alpha$终边上一点，且$|OP| = \sqrt{10}$（$O$为坐标原点），则$m - n$等于 （ ）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4

答案： （1）D　由$\alpha$为第四象限角，故$-\frac{\pi}{2}+2k\pi＜\alpha＜2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，可得$-\pi+4k\pi＜2\alpha＜4k\pi(k\in\mathbf{Z})$，所以$2\alpha$的终边在第三、四象限或$y$轴的非正半轴上，因此$\sin2\alpha＜0$，$\cos2\alpha$的正负无法确定.
(2)A　因为$P(m,n)$在直线$y = 3x$上，所以$n = 3m$ ①，又$\sin\alpha＜0$，所以$m＜0$，$n＜0$.由$|OP|=\sqrt{10}$，得$m^2 + n^2 = 10$ ②.联立①②，并结合$m＜0$，$n＜0$，可得$m = -1$，$n = -3$，所以$m - n = 2$.

训练4 [2023福建漳州质检]已知$\sin\theta ＜ 0$，$\tan\theta ＜ 0$，则角$\theta$的终边位于 （ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： 由$\sin\theta＜0$，$\tan\theta＜0$，根据三角函数值的符号与角的终边所在象限间的关系，可得角$\theta$的终边位于第四象限.故选D.