《2025年高考帮数学》

1. 下列说法正确的是 ( )
　A. 满足$a_{n + 1}=qa_{n}(q≠0,n\in N^{*})$的数列{aₙ}为等比数列
　B. a,b,c三个数成等比数列是b² = ac的充分不必要条件
　C. 若数列{aₙ}为等比数列,Sₙ为其前n项和,则$S_{4},S_{8}-S_{4},S_{12}-S_{8}$成等比数列
　D. 若等比数列{aₙ}为递增数列,则其公比q＞1

答案： 1.B

2.[多选]已知数列{aₙ}是等比数列,公比为q,前n项和为Sₙ,则下列说法错误的是 ( )
　A.{$\frac{1}{a_{n}}$}为等比数列
B.{$log_{2}a_{n}$}为等差数列
　C.{$a_{n}+a_{n + 1}$}为等比数列
D. 若$S_{n}=3^{n - 1}+r$,则$r=-\frac{1}{3}$

答案： 2.BC 令$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$,则$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}=\frac{\frac{1}{a_{n}}}{\frac{1}{a_{n + 1}}}=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=\frac{1}{q}$(非零常数),所以$\{\frac{1}{a_{n}}\}$是等比数列,选项A正确;若$a_{n}＜0$,则$\log_{2}a_{n}$无意义,所以选项B错误;当$q = - 1$时,$a_{n}+a_{n + 1}=0$,此时$\{a_{n}+a_{n + 1}\}$不是等比数列,所以选项C错误;当$q\neq1$时,$S_{n}=A - A\cdot q^{n}(A = \frac{a_{1}}{1 - q})$,由$S_{n}=3^{n - 1}+r=\frac{1}{3}\times3^{n}+r$可得$r = -\frac{1}{3}$,所以选项D正确.故选BC.

3.[易错题]设等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,若a₁ = 2,$S_{3}=6$,则S₄ = ________.

答案： 3.8或 - 10 设公比为$q$.当$q = 1$时,$S_{3}=3a_{1}$成立,所以$S_{4}=4a_{1}=8$.当$q\neq1$时,$S_{3}=\frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}=6$,解得$q = - 2$,所以$S_{4}=6 + 2q^{3}=-10$.所以$S_{4}=8$或 - 10.

4.[教材改编]有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间两个数的和为18,则这四个数依次为________________.

答案： 4.3,6,12,18或$\frac{75}{4},\frac{45}{4},\frac{27}{4},\frac{9}{4}$ 设后三个数分别为$a - d,a,a + d$,则第一个数为$\frac{(a - d)^{2}}{a}$,因此这四个数为$\frac{(a - d)^{2}}{a},a - d,a,a + d$.由题意得$\begin{cases}\frac{(a - d)^{2}}{a}+(a + d)=21\\a - d + a = 18\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 12\\d = 6\end{cases}$或$\begin{cases}a=\frac{27}{4}\\d = -\frac{9}{2}\end{cases}$.故这四个数为3,6,12,18或$\frac{75}{4},\frac{45}{4},\frac{27}{4},\frac{9}{4}$.

例1
(1)[2023全国卷甲]设等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=1$，$S_{5}=5S_{3}-4$，则$S_{4}=$ ( )
A. $\frac{15}{8}$ B. $\frac{65}{8}$ C. 15 D. 40
(2)[2023天津高考]已知$\{ a_{n}\}$为等比数列，$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{n + 1}=2S_{n}+2$，则$a_{4}$的值为 ( )
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152

答案： 高考帮
例1　
(1)C　解法一　若该数列的公比$q = 1$，代入$S_{5}=5S_{3}-4$中，有$5 = 5\times3 - 4$，不成立，所以$q\neq1$. 由$\frac{1 - q^{5}}{1 - q}=5\times\frac{1 - q^{3}}{1 - q}-4$，化简得$q^{4}-5q^{2}+4 = 0$，所以$q^{2}=1$(舍)或$q^{2}=4$，由于此数列各项均为正数，所以$q = 2$，所以$S_{4}=\frac{1 - q^{4}}{1 - q}=15$. 故选C.
解法二　设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，由已知得$1 + q + q^{2}+q^{3}+q^{4}=5(1 + q + q^{2})-4$，整理得$q(1 + q)(q^{2}-4)=0$，由于此数列各项均为正数，所以$q = 2$，所以$S_{4}=1 + q + q^{2}+q^{3}=1 + 2 + 4 + 8 = 15$. 故选C.
(2)C　解法一　因为$a_{n + 1}=2S_{n}+2$，所以当$n\geq2$时，$a_{n}=2S_{n - 1}+2$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=2a_{n}$，即$a_{n + 1}=3a_{n}$，所以等比数列$\{a_{n}\}$的公比$q=\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=3$. 当$n = 1$时，$a_{2}=2S_{1}+2=2a_{1}+2$，又$a_{2}=3a_{1}$，所以$3a_{1}=2a_{1}+2$，解得$a_{1}=2$，所以$a_{4}=a_{1}q^{3}=2\times3^{3}=54$，故选C.
解法二　设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，因为$a_{n + 1}=2S_{n}+2$，所以公比$q\neq1$，且$a_{1}q^{n}=\frac{2a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}+2=-\frac{2a_{1}}{1 - q}q^{n}+\frac{2a_{1}}{1 - q}+2$，所以$\begin{cases}a_{1}=-\frac{2a_{1}}{1 - q},\\0=\frac{2a_{1}}{1 - q}+2,\end{cases}$又$a_{1}\neq0$，所以$q = 3$，$a_{1}=2$，所以$a_{4}=a_{1}q^{3}=2\times3^{3}=54$，故选C.

训练1
(1)[2022全国卷乙]已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前3项和为168，$a_{2}-a_{5}=42$，则$a_{6}=$ ( )
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
(2)[全国卷Ⅰ]设$\{ a_{n}\}$是等比数列，且$a_{1}+a_{2}+a_{3}=1$，$a_{2}+a_{3}+a_{4}=2$，则$a_{6}+a_{7}+a_{8}=$ ( )
A. 12 B. 24 C. 30 D. 32

答案： 训练1　
(1)D　解法一　设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，由题意可得$\begin{cases}a_{1}+a_{2}+a_{3}=168,\\a_{2}-a_{5}=42,\end{cases}$即$\begin{cases}a_{1}(1 + q + q^{2})=168,\\a_{1}q(1 - q^{3})=a_{1}q(1 - q)(1 + q + q^{2})=42,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=96,\\q=\frac{1}{2},\end{cases}$所以$a_{6}=a_{1}q^{5}=3$，故选D.
解法二　设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，易知$q\neq1$，由题意可得$\begin{cases}\frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}=168,\\a_{1}q(1 - q^{3})=42,\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=96,\\q=\frac{1}{2},\end{cases}$所以$a_{6}=a_{1}q^{5}=3$，故选D.
(2)D　设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为$q$，所以$\frac{a_{2}+a_{3}+a_{4}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}=\frac{(a_{1}+a_{2}+a_{3})q}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}=q = 2$，所以$a_{6}+a_{7}+a_{8}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})\cdot q^{5}=2^{5}=32$，故选D.

例2 [全国卷Ⅰ]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$na_{n + 1}=2(n + 1)a_{n}$。设$b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$。
(1)求$b_{1},b_{2},b_{3}$；
(2)判断数列$\{ b_{n}\}$是否为等比数列，并说明理由；
(3)求$\{ a_{n}\}$的通项公式。

答案： 例2　
(1)由条件可得$a_{n + 1}=\frac{2(n + 1)}{n}a_{n}$.
将$n = 1$代入得，$a_{2}=4a_{1}$，而$a_{1}=1$，所以$a_{2}=4$.
将$n = 2$代入得，$a_{3}=3a_{2}$，所以$a_{3}=12$.
从而$b_{1}=1$，$b_{2}=2$，$b_{3}=4$.
(2)$\{b_{n}\}$是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得$\frac{a_{n + 1}}{n + 1}=\frac{2a_{n}}{n}$，即$b_{n + 1}=2b_{n}$，又$b_{1}=1$，所以$\{b_{n}\}$是首项为1，公比为2的等比数列.
(3)由
(2)可得$\frac{a_{n}}{n}=2^{n - 1}$，所以$a_{n}=n\cdot2^{n - 1}$.