《2025年高考帮数学》

2.[易错题]设$a,b\in[0,+\infty),A=\sqrt{a}+\sqrt{b},B=\sqrt{a + b}$,则$A,B$的大小关系是 （ ）
A.$A\leqslant B$
B.$A\geqslant B$
C.$A ＜ B$
D.$A ＞ B$

答案： 2.B 由题意得，A² - B² = 2√ab≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.

3.[多选]下列说法不正确的是 （ ）
A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数,不等号方向不变
B.若$a ＞ b ＞ 0,c ＞ d ＞ 0$,则$\frac{a}{d}＞\frac{b}{c}$
C.若$ab ＞ 0,a ＞ b$,则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
D.若$x ＞ y$,则$x^{2}＞y^{2}$

答案： 3.AD

4.[教材改编]已知$2 ＜ a ＜ 3,-2 ＜ b ＜ -1$,则$2a - b$的取值范围是_______.

答案： 4.(5,8)
∵2 ＜ a ＜ 3，
∴4 ＜ 2a ＜ 6 ①.
∵ - 2 ＜ b ＜ - 1，
∴1 ＜ - b ＜ 2 ②.
① + ②得，5 ＜ 2a - b ＜ 8.

例1　(1)[2024湖北襄阳宜城第一中学模拟]已知0＜a＜$\frac{1}{2}$，若A=1+a²，B=$\frac{1}{1−a}$，则A与B 的大小关系是（　　）
A.A＜B　　B.A＞B　　C.A=B　　D.不确定
(2)的大小关系为________.

答案：
(1)A $A - B = 1 + a^{2}-\frac{1}{1 - a}=\frac{(1 + a^{2})(1 - a)-1}{1 - a}=\frac{a^{2}-a - a^{3}}{1 - a}=\frac{a(a - 1 - a^{2})}{1 - a}$，因为$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$，所以$1 - a ＞ 0$，$-a^{2}+a - 1=-(a - \frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{4}＜-\frac{3}{4}＜0$，所以$A - B ＜ 0$，即$A ＜ B$。故选A。
(2)$e^{\pi}\cdot\pi^{e}＜e^{e}\cdot\pi^{\pi}$ $\frac{e^{\pi}\cdot\pi^{e}}{e^{e}\cdot\pi^{\pi}}=\frac{e^{\pi - e}}{\pi^{\pi - e}}=(\frac{e}{\pi})^{\pi - e}$，又$0 ＜ \frac{e}{\pi}＜1$，$0 ＜ \pi - e ＜ 1$，所以$(\frac{e}{\pi})^{\pi - e}＜1$，即$\frac{e^{\pi}\cdot\pi^{e}}{e^{e}\cdot\pi^{\pi}}＜1$，又$e^{e}\cdot\pi^{\pi}＞0$，所以$e^{\pi}\cdot\pi^{e}＜e^{e}\cdot\pi^{\pi}$。

训练1　
(1)若a＞b＞1，，则P，Q 的大小关系是（　　）
A.P＞Q　　B.P=Q　　C.P＜Q　　D.不能确定
(2)[多选/2023江苏省南京市调研]已知a＞b＞0，则（　　）
A.$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$
B.a−$\frac{1}{b}$＞b−$\frac{1}{a}$
C.a³−b³＞2(a²b−ab²)
D.$\sqrt{a + 1}$−$\sqrt{b + 1}$＞$\sqrt{a}$−$\sqrt{b}$

答案：
(1)C $P,Q$作商可得$\frac{P}{Q}=\frac{ae^{b}}{be^{a}}=\frac{\frac{e^{b}}{b}}{\frac{e^{a}}{a}}$。
令$f(x)=\frac{e^{x}}{x}$，则$f'(x)=\frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}$，当$x ＞ 1$时，$f'(x)＞0$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，因为$a ＞ b ＞ 1$，所以$\frac{e^{b}}{b}＜\frac{e^{a}}{a}$，又$\frac{e^{b}}{b}＞0,\frac{e^{a}}{a}＞0$，所以$\frac{P}{Q}=\frac{\frac{e^{b}}{b}}{\frac{e^{a}}{a}}＜1$，所以$P ＜ Q$。
(2)AC　对于A，因为函数$y = \frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递减，$a ＞ b ＞ 0$，所以$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}$，故A正确。
对于B，解法一　由$a-\frac{1}{b}＞b-\frac{1}{a}$，得$a - b+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}＞0$，即$(a - b)(1-\frac{1}{ab})＞0$，因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0,ab ＞ 0$，所以$1-\frac{1}{ab}＞0$，所以$ab ＞ 1$，而该式不一定成立，所以不等式$a-\frac{1}{b}＞b-\frac{1}{a}$不一定成立，故B不正确。
解法二　当$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{3}$时，$a-\frac{1}{b}=-\frac{5}{2},b-\frac{1}{a}=-\frac{5}{3}$，则$a-\frac{1}{b}＜b-\frac{1}{a}$，故B不正确。
对于C，由$a^{3}-b^{3}＞2(a^{2}b - ab^{2})$，得$(a - b)(a^{2}-ab + b^{2})＞0$，因为$a - b ＞ 0$，所以$a^{2}+b^{2}-ab ＞ 0$，即$(a - b)^{2}+ab ＞ 0$，该不等式恒成立，故C正确。
对于D，由$\sqrt{a + 1}-\sqrt{b + 1}＞\sqrt{a}-\sqrt{b}$，得$\sqrt{a + 1}-\sqrt{a}＞\sqrt{b + 1}-\sqrt{b}$，即$\frac{1}{\sqrt{a + 1}+\sqrt{a}}＞\frac{1}{\sqrt{b + 1}+\sqrt{b}}$，所以$\sqrt{b + 1}+\sqrt{b}＞\sqrt{a + 1}+\sqrt{a}$，该不等式不成立，故D不正确。
综上所述，选AC。

例2不等式的性质
 (1)[全国卷II]若a＞b，则（　　）
$A.ln(a−b)＞0　　　B.3^a＜3^b $
C.a³−b³＞0　　　　　D.|a|＞|b|
(2)[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是（　　）
A.ab＞ac　　　　　　B.cb²＜ab²
C.c(b−a)＞0　　　　D.ac(a−c)＜0

答案：
(1)C　解法一　由函数$y = \ln x$的图象(图略)知，当$0 ＜ a - b ＜ 1$时，$\ln(a - b)＜0$，故A不正确；因为函数$y = 3^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以当$a ＞ b$时，$3^{a}＞3^{b}$，故B不正确；因为函数$y = x^{3}$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以当$a ＞ b$时，$a^{3}＞b^{3}$，即$a^{3}-b^{3}＞0$，故C正确；当$b ＜ a ＜ 0$时，$\vert a\vert＜\vert b\vert$，故D不正确。故选C。
解法二　当$a = 0.3,b = - 0.4$时，$\ln(a - b)＜0,3^{a}＞3^{b},\vert a\vert＜\vert b\vert$，故排除A,B,D。故选C。
(2)ACD　由$c ＜ b ＜ a$，且$ac ＜ 0$，得$a ＞ 0,c ＜ 0$。对于A，由$c ＜ b,a ＞ 0$得$ac ＜ ab$，故A正确。对于B，取$c = - 1,b = 0,a = 1$，显然B不一定正确。对于C，$b - a ＜ 0,c ＜ 0$，故$c(b - a)＞0$，故C正确。对于D，$ac ＜ 0,a - c ＞ 0$，故$ac(a - c)＜0$，故D正确。故选ACD。

例3 (1)已知a＞b＞c，2a+b+c=0，则$\frac{c}{a}$的取值范围是（　　）
A.(−3,−1)　　　　B.(−1,−$\frac{1}{3}$)
C.(−2,−1)　　　　D.(−1,−$\frac{1}{2}$)
(2)[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a，b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4，则3a−2b 的取值范围为________.

答案：
(1)A　因为$a ＞ b ＞ c,2a + b + c = 0$，所以$a ＞ 0,c ＜ 0,b=-2a - c$。因为$a ＞ b ＞ c$，所以$-2a - c ＜ a$，即$3a ＞ - c$，解得$\frac{c}{a}＞-3$，将$b = - 2a - c$代入$b ＞ c$中，得$-2a - c ＞ c$，即$a ＜ - c$，得$\frac{c}{a}＜-1$，所以$-3 ＜ \frac{c}{a}＜-1$。故选A。
(2)$[-4,11]$　设$3a - 2b=m(a + b)+n(a - b)=(m + n)a+(m - n)b$，则$\begin{cases}m + n = 3\\m - n = - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\n=\frac{5}{2}\end{cases}$，所以$3a - 2b=\frac{1}{2}(a + b)+\frac{5}{2}(a - b)$。又$-\frac{3}{2}\leqslant\frac{1}{2}(a + b)\leqslant1,-\frac{5}{2}\leqslant\frac{5}{2}(a - b)\leqslant10$，所以$-4\leqslant3a - 2b\leqslant11$。

训练2 (1)[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设a≥b≥c，且1是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个实根，则$\frac{c}{a}$的取值范围是（　　）
A.[−2,−$\frac{1}{2}$]
B.(−2,−$\frac{1}{2}$)
C.(−∞,−2)∪(−$\frac{1}{2}$,+∞)
D.(−∞,−2]∪[−$\frac{1}{2}$,+∞)
(2)[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（　　）
A.若bc²＜ac²，则b＜a
B.若a³＞b³且ab＜0，则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$
C.若a＞b＞c＞0，则$\frac{a}{b}$＞$\frac{a + c}{b + c}$
D.若c＞b＞a＞0，则$\frac{a}{c - a}$＞$\frac{b}{c - b}$

答案：
(1)A　因为1是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个实根，所以$a + b + c = 0$，则$b=-a - c$，
又$a\geqslant b\geqslant c$，所以$a\geqslant - a - c\geqslant c$，则$\begin{cases}2a\geqslant - c\\-a\geqslant2c\end{cases}$，
又$a\geqslant b\geqslant c$，所以$3a\geqslant a + b + c = 0$，又$a\neq0$，所以$a ＞ 0$，
则不等式组等价于$\begin{cases}2\geqslant-\frac{c}{a}\\-1\geqslant\frac{2c}{a}\end{cases}$，即$\begin{cases}-2\leqslant\frac{c}{a}\\-\frac{1}{2}\geqslant\frac{c}{a}\end{cases}$，故$-2\leqslant\frac{c}{a}\leqslant-\frac{1}{2}$，故选A。
(2)ABC　选项A，若$bc^{2}＜ac^{2}$成立，则$c\neq0$，所以$c^{2}＞0$，故选项A正确；
选项B，由$a^{3}＞b^{3}$得$a ＞ b$，又$ab ＜ 0$，所以$a ＞ 0 ＞ b$，所以$\frac{1}{a}＞0＞\frac{1}{b}$，故选项B正确；
选项C，因为$a ＞ b ＞ c ＞ 0$，所以$ac ＞ bc$，所以$ac + ab ＞ bc + ab$，因为$\frac{1}{b(b + c)}＞0$，所以两边同乘$\frac{1}{b(b + c)}$得$\frac{a}{b}＞\frac{a + c}{b + c}$，故选项C正确；
选项D，易知$a - b ＜ 0,c - a ＞ 0,c - b ＞ 0$，所以$\frac{a}{c - a}-\frac{b}{c - b}=\frac{c(a - b)}{(c - a)(c - b)}＜0$，即$\frac{a}{c - a}＜\frac{b}{c - b}$，故选项D不正确。
故选ABC。