《2025年高考帮数学》

例2 [2021新高考卷Ⅱ节选]如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面ABCD是正方形，AD = 2,QD = QA = $\sqrt{5}$,QC = 3. 证明：平面QAD⊥平面ABCD.
　　　　　　　　　　　　

答案： 在$\triangle QDC$中，因为$QD^{2}+CD^{2}=QC^{2}$，所以$CD\perp QD$.又$CD\perp AD$，$QD\cap AD = D$，$QD$，$AD\subset$平面$QAD$，所以$CD\perp$平面$QAD$.因为$CD\subset$平面$ABCD$，所以平面$QAD\perp$平面$ABCD$.

例3 [2024江苏常州模拟节选]如图所示，在四棱锥P - ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB//DC,AB = 2BC = 2CD = 4,∠BCD = 60°，平面PBD⊥平面ABCD. 证明：PB⊥AD.
　　　　　　　　　　　　

答案： 由题意知$\triangle BCD$为等边三角形，则$BD = BC = 2$，又$AB// DC$，则$\angle ABD = 60^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$AB = 4$，$BD = 2$，所以$AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2AB\cdot BD\times\cos\angle ABD = 4^{2}+2^{2}-2\times4\times2\times\cos60^{\circ}=12$，则$AD = 2\sqrt{3}$，所以$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$AD\perp BD$，因为平面$PBD\perp$平面$ABCD$，平面$PBD\cap$平面$ABCD = BD$，$AD\subset$平面$ABCD$，所以$AD\perp$平面$PBD$.又$PB\subset$平面$PBD$，故$PB\perp AD$.

训练3 [2022全国卷乙]在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，E,F分别为AB,BC的中点，则　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 平面B₁EF⊥平面BDD₁
B. 平面B₁EF⊥平面A₁BD
C. 平面B₁EF//平面A₁AC
D. 平面B₁EF//平面A₁C₁D

答案：
A 如图，对于选项A，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，因为$E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，所以$EF// AC$，又$AC\perp BD$，所以$EF\perp BD$，又易知$DD_{1}\perp EF$，$BD\cap DD_{1}=D$，从而$EF\perp$平面$BDD_{1}$，又$EF\subset$平面$B_{1}EF$，所以平面$B_{1}EF\perp$平面$BDD_{1}$，故选项A正确；对于选项B，因为平面$A_{1}BD\cap$平面$BDD_{1}=BD$，所以由选项A知，平面$B_{1}EF\perp$平面$A_{1}BD$不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线$AA_{1}$与直线$B_{1}E$必相交，故平面$B_{1}EF$与平面$A_{1}AC$不平行，故选项C错误；对于选项D，连接$AB_{1}$，$B_{1}C$，易知平面$AB_{1}C//$平面$A_{1}C_{1}D$，又平面$AB_{1}C$与平面$B_{1}EF$有公共点$B_{1}$，所以平面$A_{1}C_{1}D$与平面$B_{1}EF$不平行，故选项D错误.故选A.