《2025年高考帮数学》

训练1 (1)已知函数$f(x) = x^{2} - 2(a + 2)x + a^{2},g(x) = -x^{2} + 2(a - 2)x - a^{2} + 8$.设$H_{1}(x) = \max\{f(x),g(x)\},H_{2}(x) = \min\{f(x),g(x)\}$($\max\{p,q\}$表示$p,q$中的较大值,$\min\{p,q\}$表示$p,q$中的较小值).记$H_{1}(x)$的最小值为$A,H_{2}(x)$的最大值为$B$,则$A - B = $ ( )
A. $a^{2} - 2a - 16$
B. $a^{2} + 2a - 16$
C. -16
D. 16
(2)已知函数$f(x) = -x^{2} + 2ax + 1 - a$在$0\leq x\leq1$时有最大值2,则实数$a$的值为________.

答案：

(1)C易知f(x)的图象的顶点坐标为(a+2,−4a−4),g(x)的图象的顶点坐标为(a−2,−4a+12),并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，f(x)与g(x)的大致图象如图所示，所以A−B=−4a−4−(−4a+12)=−16,故选C.
(2)−1或2易知y=−x²+2ax+1−a(x∈R)的图象的对称轴为直线x=a.
当a＜0时,函数f(x)=−x²+2ax+1−a(0≤x≤1)的大致图象如图1中实线部分所示,当x=0时,f(x)有最大值且f(x)max=f
(0)=1−a,
∴1−a=2,即a=−1.
当0≤a≤1时,函数f(x)=−x²+2ax+1−a(0≤x≤1)的大致图象如图2中实线部分所示,当x=a时，f(x)有最大值且f(x)max=f(a)=−a²+2a²+1−a=a²−a+1,
∴a²−a+1=2,解得a=$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
∵0≤a≤1,
∴a=$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$不满足题意.
当a＞1时,函数f(x)=−x²+2ax+1−a(0≤x≤1)的大致图象如图3中实线部分所示,当x=1时,f(x)有最大值且f(x)max=f
(1)=a=2,
∴a=2.
综上可知,a的值为−1或2.

例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于$x$的不等式$(x + 2)(x - 4) + a ＜ 0(a ＜ 0)$的解集是$(x_{1},x_{2})$,则 ( )
A. $x_{1} + x_{2} = 2$
B. $x_{1}x_{2} ＜ -8$
C. $-2 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 4$
D. $x_{2} - x_{1} ＞ 6$

答案：
ABD解法一(x+2)(x−4)+a＜0即(x+2)(x−4)＜−a,作出f(x)=(x+2)(x−4)及y=−a(a＜0)的图象,如图.因为(x+2)(x−4)+a＜0的解集是(x₁,x₂),所以f(x)=(x+2)·(x−4)的图象与直线y=−a的交点的横坐标分别为x₁,x₂,则由图象易得x₁＜−2＜4＜x₂,x₁ + x₂ =−2 + 4 = 2,所以A正确,C错误.易知x₂−x₁＞4−(−2)=6,所以D正确.因为−x₁＞2,x₂＞4,所以−x₁x₂＞8,所以x₁x₂＜−8,故B正确.故选ABD.

解法二因为关于x的不等式(x+2)(x−4)+a＜0(a＜0)的解集是(x₁,x₂),所以x₁,x₂是一元二次方程x²−2x−8+a=0的两个根,所以x₁ + x₂ = 2,故A正确;x₁x₂ = a - 8＜ - 8，故B正确;x₂ - x₁ = $\sqrt{(x₂ + x₁)² - 4x₁x₂}$ = 2$\sqrt{9 - a}$＞6，故D正确;由x₂ - x₁＞6，x₁ + x₂ = 2，可得x₁＜ - 2，x₂＞4，故C错误.故选ABD.

例4 [2024河南省名校调研]不等式$-x^{2} - |x| + 6 ＞ 0$的解集为 ( )
A. $\{x|-2 ＜ x ＜ 3\}$
B. $\{x|-2 ＜ x ＜ 2\}$
C. $\{x|x ＜ -2或x ＞ 3\}$
D. $\{x|x ＜ -3或x ＞ 2\}$

答案： B不等式可化为|x|²+|x|−6＜0,即−3＜|x|＜2,解得−2＜x＜2.故选B.

例5 [2024湖北省孝感市部分学校模拟]设$a\in\mathbf{R}$,解关于$x$的不等式:$ax^{2} - (a + 4)x + 4\leq0$.
　

答案：
∵ax²−(a+4)x+4≤0,
∴(ax−4)(x−1)≤0.
当a=0时,原不等式可化为x−1≥0,解得x≥1.
当a≠0时,(ax−4)(x−1)=0⇒x=$\frac{4}{a}$或x=1,
①当a＜0时,$\frac{4}{a}$＜1,此时原不等式的解集为x≤$\frac{4}{a}$或x≥1;
②当0＜a＜4时,$\frac{4}{a}$＞1,此时原不等式的解集为1≤x≤$\frac{4}{a}$;
③当a=4时,$\frac{4}{a}$=1,此时原不等式的解集为x=1;
④当a＞4时,$\frac{4}{a}$＜1,此时原不等式的解集为$\frac{4}{a}$≤x≤1.
综上，当a=0时,原不等式的解集为{x|x≥1};当a＜0时,原不等式的解集为{x|x≤$\frac{4}{a}$或x≥1};当0＜a＜4时,原不等式的解集为{x|1≤x≤$\frac{4}{a}$};当a=4时,原不等式的解集为{x|x = 1};当a＞4时,原不等式的解集为{x|$\frac{4}{a}$≤x≤1}.