《2025年高考帮数学》

2.设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,$x_0(x_0\neq0)$是$f(x)$的极大值点,则下列结论一定正确的是　　　　　　　　(　　　)

A.$\forall x\in\mathbf{R},f(x)\leq f(x_0)$　　　　　　　　　　　　B.$-x_0$是$y = f(-x)$的极小值点

C.$-x_0$是$y = -f(x)$的极小值点　　　　　　　　D.$-x_0$是$y = -f(-x)$的极小值点

答案： 极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上$f(x_{0})$是否最大，故A错误;因为函数$f(x)$与$y = f( - x)$的图象关于$y$轴对称，所以$-x_{0}$是$y = f( - x)$的极大值点，故B错误;因为函数$f(x)$与$y = -f(x)$的图象关于$x$轴对称，所以$x_{0}$是$y = -f(x)$的极小值点，而$-x_{0}$是否为$y = -f(x)$的极小值点不确定，故C错误;因为函数$f(x)$与$y = -f( - x)$的图象关于原点对称，所以$-x_{0}$是$y = -f( - x)$的极小值点，选项D正确。

3.[2024辽宁省部分学校联考]函数$f(x)=(-2x + 4)e^x$在区间$[1,+\infty)$上的最大值为________.

答案： $f'(x) = ( - 2x + 2)e^{x}$，当$x\in[1, +\infty)$时，$f'(x)\leq0$，$f(x)$单调递减，所以$f(x)_{\max}=f(1)=2e$.

4.若函数$f(x)=x^3 - ax^2 + 2x - 1$有极值,则实数$a$的取值范围是________________.

答案： 由已知，得$f'(x)=3x^{2}-2ax + 2$.因为函数$f(x)$有极值，所以$f'(x)=0$有变号零点，所以$\Delta = 4a^{2}-24＞0$，解得$a＞\sqrt{6}$或$a＜-\sqrt{6}$，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{6})\cup(\sqrt{6},+\infty)$.

例1　(1)[浙江高考]函数$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$的图象如图所示，则函数$y = f(x)$的图象可能是　(　　)



(2)[多选/2024陕西省汉中市联考]设$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$y = f'(x)$的图象如图所示，则下列说法正确的是　(　　)


A.函数一定有三个零点
B.函数一定有三个极值点
C.函数有最小值
D.函数图象一定经过坐标原点

答案：
(1)D　根据题意，已知导函数的图象与x轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，根据f(x)有两个极小值和一个极大值可排除A、C；记导函数f'(x)的零点从左到右分别为x1、x2、x3，又在(−∞,x1)上f'(x)＜0，在(x1,x2)上f'(x)＞0，所以函数f(x)在(−∞,x1)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增，由x2＞0排除B。故选D。
(2)BC　易知函数f(x)在(−∞,0)、(1,2)上单调递减，在(0,1)、(2,+∞)上单调递增，所以函数f(x)一定有三个极值点0、1、2，B正确；函数f(x)有最小值，为f
(0)、f
(2)中的较小者，C正确；函数f(x)的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0，A错误；函数f(x)的图象不一定过原点，D错误。故选BC。

训练1　[多选]已知函数$y = f(x)$的导函数$y = f'(x)$的图象如图所示，则下列结论正确的是　(　　)

A.$f(a) \lt f(b) \lt f(c)$
B.$f(e) \lt f(d) \lt f(c)$
C.$x = c$时，$f(x)$取得最大值
D.$x = d$时，$f(x)$取得最小值

答案： AB　由f'(x)的图象可知，当x∈(−∞,c)∪(e,+∞)时，f'(x)＞0；当x∈(c,e)时，f'(x)＜0。所以f(x)在(−∞,c)、(e,+∞)上单调递增，在(c,e)上单调递减。对于A，因为a＜b＜c，所以f(a)＜f(b)＜f(c)，A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f(e)＜f(d)＜f(c)，B正确；对于C，由单调性知f(c)为极大值，当x＞e时，可能存在f(x₀)＞f(c)，C错误；对于D，由单调性知f(e)＜f(d)，D错误。

例2　[全国卷Ⅱ]若$x = - 2$是函数$f(x) = (x^{2}+ax - 1)e^{x - 1}$的极值点，则$f(x)$的极小值为　(　　)
A. - 1
B. 
C. 
D. 1

答案： A　因为f(x)=(x²+ax−1)eˣ⁻¹，所以f'(x)=(2x+a)eˣ⁻¹+(x²+ax−1)eˣ⁻¹=[x²+(a+2)x+a−1]eˣ⁻¹。因为x = −2是函数f(x)=(x²+ax−1)eˣ⁻¹的极值点，所以−2是x²+(a+2)x+a−1=0的根，将x = −2代入解得a = −1，所以f'(x)=(x²+x−2)eˣ⁻¹=(x + 2)(x − 1)eˣ⁻¹。令f'(x)＞0，解得x＜−2或x＞1，令f'(x)＜0，解得−2＜x＜1，所以f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以当x = 1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值=f
(1)=−1，故选A。

例3　(1)[多选/2023新高考卷Ⅱ]若函数$f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}(a \neq 0)$既有极大值也有极小值，则　(　　)
A.$bc \gt 0$
B.$ab \gt 0$
C.$b^{2}+8ac \gt 0$
D.$ac \lt 0$
(2)[开放题/2023北京市第五十五中学4月调研]已知函数$f(x)=(x - a)(x - 3)^{2}(a \in \mathbf{R})$，当$x = 3$时，$f(x)$有极大值. 写出符合上述要求的一个$a$的值：________.

答案：
(1)BCD　因为函数f(x)=alnx + $\frac{b}{x}$ + $\frac{c}{x²}$(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=$\frac{ax² - bx - 2c}{x³}$。因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax²−bx−2c=0有两个不等的正实根x1、x2，则$\begin{cases}\Delta＞0\\x_1 + x_2＞0\\x_1x_2＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}b² + 8ac＞0\\-\frac{b}{a}＞0\\-\frac{2c}{a}＞0\end{cases}$，所以$\begin{cases}b² + 8ac＞0\\ab＞0\\ac＜0\end{cases}$。故B、C、D正确。因为ab＞0，ac＜0，所以bc＜0，A错误，故选BCD。
(2)4(答案不唯一，满足a＞3即可)　由题意得，f'(x)=(x−3)²+(x−a)×2(x−3)=(x−3)(x−3 + 2x−2a)=(x−3)(3x−2a−3)，令f'(x)=0，解得x = 3或x = $\frac{2a + 3}{3}$。当$\frac{2a + 3}{3}$＞3，即a＞3时，f(x)在(−∞,3)上单调递增，在(3,$\frac{2a + 3}{3}$)上单调递减，所以f(x)在x = 3时取极大值。所以a＞3，a可取4，故答案为4(答案不唯一，满足a＞3即可)。