《2025年高考帮数学》

训练2　(1)[2023广州市二检]已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 3|\boldsymbol{b}|$，$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，则$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=$　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{1}{2}$　　　　　　　　B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$　　　　　　　　D.$-\frac{1}{3}$
(2)[2021全国卷甲]若向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 5$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，则$|\boldsymbol{b}| =$________.

答案： 训练2
(1)D　因为$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，所以$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=0$，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}^{2}$，所以$|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cdot\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-|\boldsymbol{b}|^{2}$，即$3|\boldsymbol{b}|\cdot|\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-|\boldsymbol{b}|^{2}$，$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-\frac{1}{3}$。故选D。
(2)$3\sqrt{2}$　由$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 5$得$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=25$，即$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=25$，结合$|\boldsymbol{a}| = 3,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，得$3^{2}-2\times1+|\boldsymbol{b}|^{2}=25$，所以$|\boldsymbol{b}| = 3\sqrt{2}$。

例5　在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况
　　　　　　　　　　　　 (如图).假设行李包所受重力为$\boldsymbol{G}$，所受的两个拉力分别为$\boldsymbol{F}_1$，$\boldsymbol{F}_2$. 若$|\boldsymbol{F}_1| = |\boldsymbol{F}_2|$，$\boldsymbol{F}_1$与$\boldsymbol{F}_2$的夹角为$\theta$，则下列结论不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$|\boldsymbol{F}_1|$的最小值为$\frac{1}{2}|\boldsymbol{G}|$
B. 当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$|\boldsymbol{F}_1| = |\boldsymbol{G}|$
C. 当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$|\boldsymbol{F}_1|=\frac{\sqrt{2}}{2}|\boldsymbol{G}|$
D. 当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$\boldsymbol{F}_1$在$\boldsymbol{F}_2$方向上的投影数量为$\frac{|\boldsymbol{G}|}{2}$

答案： 例5D　由题意知，$|\boldsymbol{G}| = |\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}|$，且$|\boldsymbol{G}|$为定值，因为$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{F}_{2}|$，所以$|\boldsymbol{G}|^{2}=|\boldsymbol{F}_{1}|^{2}+|\boldsymbol{F}_{2}|^{2}+2|\boldsymbol{F}_{1}||\boldsymbol{F}_{2}|\cos\theta=2|\boldsymbol{F}_{1}|^{2}(1+\cos\theta)$，所以$|\boldsymbol{F}_{1}|^{2}=\frac{|\boldsymbol{G}|^{2}}{2(1+\cos\theta)}$。
当$\theta\in(0,\pi)$时，$y = \cos\theta$单调递减，
所以关于$\theta$的函数$y = |\boldsymbol{F}_{1}|^{2}=\frac{|\boldsymbol{G}|^{2}}{2(1+\cos\theta)}$单调递增，
即$\theta$越大越费力，$\theta$越小越省力。
当$\theta = 0$时，$|\boldsymbol{F}_{1}|_{\min}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{G}|$；
当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$|\boldsymbol{F}_{1}|=\frac{\sqrt{2}}{2}|\boldsymbol{G}|$；
当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{G}|$。故A,B,C正确。
对于D选项，当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$\boldsymbol{F}_{1}$在$\boldsymbol{F}_{2}$方向上的投影数量为$|\boldsymbol{F}_{1}|\cos\frac{2\pi}{3}=|\boldsymbol{G}|\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{|\boldsymbol{G}|}{2}$，故D不正确。故选D。

训练3　一条东西方向的河流两岸平行，河宽$250\sqrt{3}$ m，河水的速度为正东3 km/h. 一艘小货船准备从河流南岸码头P处出发，航行到河流对岸对应点Q(PQ与河流的方向垂直)的正西方向并且与Q相距250 m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5 km/h，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为　　　　　　　　　(　　　)
A.$3\sqrt{3}$ km/h　　　　
　B.6 km/h
C.7 km/h　　　　　
　D.$3\sqrt{6}$ km/h

答案：
训练3C　连接PM，由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段PM。设小货船航行的速度为$\boldsymbol{v}$，水流的速度为$\boldsymbol{v}_{1}$，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为$\boldsymbol{v}_{2}$，作出示意图，如图所示。
$PQ = 250\sqrt{3}\text{ m},QM = 250\text{ m}$。
在$Rt\triangle PQM$中，（根据“PQ与河流的方向垂直”得到$\triangle PMQ$的形状）
$\tan\angle PMQ=\frac{PQ}{QM}=\frac{250\sqrt{3}}{250}=\sqrt{3}$，由题意$\angle PMQ\in(0,\frac{\pi}{2})$，
所以$\angle PMQ=\frac{\pi}{3},\angle MPQ=\frac{\pi}{6},\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\rangle=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，
易知$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{1},|\boldsymbol{v}_{1}| = 3,|\boldsymbol{v}_{2}| = 5$，
所以$|\boldsymbol{v}|=\sqrt{(\boldsymbol{v}_{2}-\boldsymbol{v}_{1})^{2}}=\sqrt{|\boldsymbol{v}_{2}|^{2}+|\boldsymbol{v}_{1}|^{2}-2\boldsymbol{v}_{1}\cdot\boldsymbol{v}_{2}}=\sqrt{5^{2}+3^{2}-2\times5\times3\cos\frac{2\pi}{3}} = 7$，
所以小货船航行速度的大小为7 km/h，故选C。

例6
(1)[2022北京高考]在△ABC中，AC = 3，BC = 4，∠C = 90°. P为△ABC所在平面内的动点，且PC = 1，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$的取值范围是（ ）
A. [ -5, 3]
B. [ -3,5]
C. [ -6,4]
D. [ -4,6]
(2)[全国卷II]已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$的最小值是（ ）
A. -2
B. $-\frac{3}{2}$
C. $-\frac{4}{3}$
D. -1

答案：
例6
(1)D解法一(极化恒等式)设AB的中点为M，$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CP}$的夹角为$\theta$，由极化恒等式得$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}^{2}= (\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CP})^{2}-\frac{25}{4}=\overrightarrow{CM}^{2}+\overrightarrow{CP}^{2}-2\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{CP}\cos\theta-\frac{25}{4}=\frac{25}{4}+1 - 5\cos\theta-\frac{25}{4}=1 - 5\cos\theta$，因为$\cos\theta\in[-1,1]$，所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\in[-4,6]$。
解法二以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则$A(3,0)$，$B(0,4)$，设$P(x,y)$，则$x^{2}+y^{2}=1$，$\overrightarrow{PA}=(3 - x,-y)$，$\overrightarrow{PB}=(-x,4 - y)$，所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^{2}-3x + y^{2}-4y=(x-\frac{3}{2})^{2}+(y - 2)^{2}-\frac{25}{4}$，又$(x-\frac{3}{2})^{2}+(y - 2)^{2}$表示圆$x^{2}+y^{2}=1$上一点到点$(\frac{3}{2},2)$距离的平方，圆心$(0,0)$到点$(\frac{3}{2},2)$的距离为$\frac{5}{2}$，所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\in[(\frac{5}{2}-1)^{2}-\frac{25}{4},(\frac{5}{2}+1)^{2}-\frac{25}{4}]$，即$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\in[-4,6]$，故选D。
解法三以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则$A(3,0)$，$B(0,4)$，因为$PC = 1$，所以P在以$(0,0)$为圆心，1为半径的圆上，所以设点P坐标为$(\cos\alpha,\sin\alpha)$，则$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(3-\cos\alpha,-\sin\alpha)\cdot(-\cos\alpha,4 - \sin\alpha)=1-3\cos\alpha-4\sin\alpha=1 - 5\sin(\alpha+\varphi)$（其中$\tan\varphi=\frac{3}{4}$）。因为$\sin(\alpha+\varphi)\in[-1,1]$，所以$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\in[-4,6]$。
(2)B解法一如图,取BC的中点D,则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PD}$，则$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}$。在$\triangle PAD$中,取AD的中点O,则$2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=2|\overrightarrow{PO}|^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AD}|^{2}=2|\overrightarrow{PO}|^{2}-\frac{3}{2}$
由于点P在平面内是任意的，因此当且仅当点P，O重合时，$|\overrightarrow{PO}|$取得最小值，即$2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}$取得最小值$-\frac{3}{2}$，故选B。

解法二如图，以等边三角形ABC的底边BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则$A(0,\sqrt{3})$，$B(-1,0)$，$C(1,0)$。
设$P(x,y)$，则$\overrightarrow{PA}=(-x,\sqrt{3}-y)$，$\overrightarrow{PB}=(-1 - x,-y)$，$\overrightarrow{PC}=(1 - x,-y)$，所以$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})=(-x,\sqrt{3}-y)\cdot(-2x,-2y)=2x^{2}+2(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-\frac{3}{2}$，易知当$x = 0$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$取得最小值，最小值为$-\frac{3}{2}$，故选B。