《2025年高考帮数学》

训练1　(1)[2024湖北部分重点中学联考]设$m\in\mathbf{R}$，$\boldsymbol{a}=(m,1)$，$\boldsymbol{b}=(4,m)$，$\boldsymbol{c}=(1,-2)$，则$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[多选/2023沈阳市三检]已知空间中的两条直线$m$，$n$和两个平面$\alpha$，$\beta$，则$\alpha\perp\beta$的充分条件是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$m\perp\alpha$，$m//\beta$
B.$m\subset\alpha$，$n\subset\beta$，$m\perp n$
C.$m\subset\alpha$，$m// n$，$n\perp\beta$
D.$m\perp n$，$m\perp\alpha$，$n\perp\beta$

答案：
(1)A 若$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}$，则$4 - 2m = 0$，得$m = 2$，即$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}\Leftrightarrow m = 2$；若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$m^{2}=4$，得$m = \pm2$，即$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\Leftrightarrow m = \pm2$. 因为$m = 2$是$m = \pm2$的充分不必要条件，所以$\boldsymbol{b}\perp\boldsymbol{c}$是$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充分不必要条件，故选A.
(2)ACD 对A，因为$m//\beta$，所以在平面$\beta$内存在直线$l$，使得$m// l$，又$m\perp\alpha$，所以$l\perp\alpha$，又$l\subset\beta$，所以$\alpha\perp\beta$，所以选项A符合题意；对B，若$m\subset\alpha$，$n\subset\beta$，$m\perp n$，则平面$\alpha$，$\beta$不一定垂直，例如在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB\subset$平面$ABCD$，$B_{1}C_{1}\subset$平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，且$AB\perp B_{1}C_{1}$，但平面$ABCD$与平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$不垂直，所以选项B不符合题意；对C，因为$m// n$，$n\perp\beta$，所以$m\perp\beta$，又$m\subset\alpha$，所以$\alpha\perp\beta$，所以选项C符合题意；对D，因为$m\perp\alpha$，$n\perp\beta$，所以直线$m$，$n$对应的方向向量分别为平面$\alpha$，$\beta$的法向量，又$m\perp n$，所以平面$\alpha$，$\beta$的法向量垂直，所以$\alpha\perp\beta$，所以选项D符合题意.
综上，选ACD.

例3　(1)[2023辽宁名校联考]已知命题$p:\exists x ＜ -1$，$2^{x}-x - 1 ＜ 0$，则$\neg p$为　　　　(　　　)
A.$\forall x\geqslant -1$，$2^{x}-x - 1\geqslant0$
B.$\forall x ＜ -1$，$2^{x}-x - 1\geqslant0$
C.$\exists x ＜ -1$，$2^{x}-x - 1\geqslant0$
D.$\exists x\geqslant -1$，$2^{x}-x - 1\geqslant0$
(2)[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是(　　　)
A.$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}-\vert x\vert + 1\leqslant0$
B.$\forall x\in\mathbf{R}$，$-1\leqslant\frac{1}{\cos x}\leqslant1$
C.$\exists x\in\mathbf{R}$，$(\ln x)^{2}\leqslant0$
D.$\exists x\in\mathbf{R}$，$\sin x = 3$

答案：
(1)B 因为命题$p:\exists x ＜ - 1,2^{x}-x - 1 ＜ 0$，则$\neg p:\forall x ＜ - 1,2^{x}-x - 1\geqslant0$. 故选B.
(2)C 因为$x^{2}-\vert x\vert + 1 = (\vert x\vert-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$恒成立，所以$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-\vert x\vert + 1\leqslant0$是假命题；当$x = \frac{\pi}{3}$时，$\frac{1}{\cos x}=2$，所以$\forall x\in\mathbf{R}, - 1\leqslant\frac{1}{\cos x}\leqslant1$是假命题；当$x = 1$时，$\ln x = 0$，所以$\exists x\in\mathbf{R},(\ln x)^{2}\leqslant0$是真命题；因为$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，所以$\exists x\in\mathbf{R},\sin x = 3$是假命题. 故选C.

例4(1)若命题“$\forall x＞0$，$\ln x-\frac{1}{2}x^{2}-a ＜ 0$”为假命题，则实数$a$的取值范围是　　　　(　　　)
A.$(-\infty,e]$
B.$(-\infty,1]$
C.$(-\infty,\frac{1}{2}]$
D.$(-\infty,-\frac{1}{2}]$
(2)[2024江苏南通学业质量监测]设命题$p:\exists x\in\mathbf{R}$，$ax^{2}-x + 1\leqslant0$. 写出一个实数$a =$________，使得$p$为真命题.

答案：
(1)D 命题“$\forall x ＞ 0,\ln x-\frac{1}{2}x^{2}-a ＜ 0$”为假命题，则命题“$\exists x ＞ 0,\ln x-\frac{1}{2}x^{2}-a\geqslant0$”为真命题. 由$\ln x-\frac{1}{2}x^{2}-a\geqslant0$，得$a\leqslant\ln x-\frac{1}{2}x^{2}$. 设$g(x)=\ln x-\frac{1}{2}x^{2}$，则原问题可转化为$a\leqslant g(x)_{\max}$，$g'(x)=\frac{1}{x}-x=\frac{1 - x^{2}}{x}$. 令$g'(x)＞0$，得$0 ＜ x ＜ 1$，令$g'(x)＜0$，得$x ＞ 1$，则$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，从而$g(x)\leqslant g(1)=-\frac{1}{2}$，故$a\leqslant-\frac{1}{2}$. 故选D.
(2)$0$（答案不唯一） 当$a = 0$时，$-x + 1\leqslant0$有解；当$a\neq0$时，$\begin{cases}a ＞ 0\\\Delta\geqslant0\end{cases}$或$a ＜ 0$，所以$a\in(0,\frac{1}{4}]\cup(-\infty,0)$. 综上，$a\leqslant\frac{1}{4}$，即$a\leqslant\frac{1}{4}$中任取一个值都可以.

训练2　(1)[2023河北省盐山中学三模]已知命题$p:\exists x\geqslant0$，$\ln(x + 1)\geqslant0$且$\tan x ＜ 1$，则$\neg p$为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\forall x ＜ 0$，$\ln(x + 1) ＜ 0$且$\tan x\geqslant1$
B.$\forall x ＜ 0$，$\ln(x + 1) ＜ 0$或$\tan x\geqslant1$
C.$\forall x\geqslant0$，$\ln(x + 1) ＜ 0$或$\tan x\geqslant1$
D.$\forall x\geqslant0$，$\ln(x + 1) ＜ 0$且$\tan x\geqslant1$
(2)若命题“$\exists a\in[-1,3]$，$ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a ＜ 0$”为假命题，则实数$x$的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$[-1,4]$
B.$[0,\frac{5}{3}]$
C.$[-1,0]\cup[\frac{5}{3},4]$
D.$[-1,0)\cup(\frac{5}{3},4]$
(3)[多选/2024重庆市合川区模拟]已知命题$p:\exists x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+1 ＜ 2x$；命题$q$：若$mx^{2}-mx - 1\neq0$ 恒成立，则$-4 ＜ m ＜ 0$. 则　　　　　　　(　　　)
A.$p$的否定是假命题
B.$q$的否定是真命题
C.$p$与$q$都是假命题
D.$p$与$q$都是真命题

答案：
(1)C 由含有一个量词的命题的否定规律易知C正确.
(2)C 命题“$\exists a\in[-1,3],ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a ＜ 0$”为假命题，则其否定为真命题，（命题与命题的否定真假相反）即“$\forall a\in[-1,3],ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a\geqslant0$”为真命题. 令$g(a)=ax^{2}-(2a - 1)x + 3 - a=(x^{2}-2x - 1)a + x + 3,a\in[-1,3]$，则$g(a)\geqslant0$恒成立，所以$\begin{cases}g(-1)\geqslant0\\g(3)\geqslant0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x^{2}+3x + 4\geqslant0\\3x^{2}-5x\geqslant0\end{cases}$，得$\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant4\\x\geqslant\frac{5}{3}或x\leqslant0\end{cases}$，所以实数$x$的取值范围为$[-1,0]\cup[\frac{5}{3},4]$. 故选C.
(3)BC 对于命题$p$：因为$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}\geqslant0$，所以$x^{2}+1\geqslant2x$，即不存在$x$，使$x^{2}+1 ＜ 2x$，故命题$p$是假命题，则命题$p$的否定是真命题. 对于命题$q$：若$mx^{2}-mx - 1\neq0$恒成立，则当$m = 0$时，$-1\neq0$，不等式恒成立；当$m\neq0$时，$\Delta=m^{2}+4m ＜ 0$，得$-4 ＜ m ＜ 0$. 综合得$-4 ＜ m\leqslant0$，故命题$q$是假命题，则命题$q$的否定是真命题. 综上所述，选项A错误、B正确、C正确、D错误. 故选BC.