《2025年高考帮数学》

1. 下列说法正确的是 ( )
A. 平面内到点$F_1(0,4),F_2(0,-4)$距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B. 关于$x,y$的方程$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(mn ＞ 0)$表示焦点在$x$轴上的双曲线
C. 双曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$的渐近线方程是$y=\pm\frac{2}{3}x$
D. 等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于$\sqrt{2}$

答案： 1.D

2. [浙江高考]渐近线方程为$x\pm y = 0$的双曲线的离心率是 ( )
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 1
C.$\sqrt{2}$
D. 2

答案： 2.C因为双曲线的渐近线方程为$x\pm y = 0$，所以无论双曲线的焦点在$x$轴上还是在$y$轴上，都满足$a = b$，所以$c=\sqrt{2}a$，所以双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$.故选C.

3. [2023北京高考]已知双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$和$(2,0)$,离心率为$\sqrt{2}$,则$C$的标准方程为______.

答案： 3.$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$解法一　因为双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$和$(2,0)$，所以$c = 2$，且焦点在$x$轴上.又离心率$e=\sqrt{2}$，所以$\frac{c}{a}=\sqrt{2}$，所以$a=\sqrt{2}$，则$b^{2}=c^{2}-a^{2}=2$，所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.解法二因为双曲线$C$的离心率$e=\sqrt{2}$，所以该双曲线为等轴双曲线，即$a = b$.又双曲线$C$的焦点为$(-2,0)$和$(2,0)$，所以$c = 2$，且焦点在$x$轴上，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}=4$，所以$a^{2}=b^{2}=2$，所以双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.

4. 已知等轴双曲线过点$(5,3)$,则该双曲线方程为__________.

答案： 4.$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{16}=1$设双曲线方程为$x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0)$，将$(5,3)$代入方程，可得$\lambda = 5^{2}-3^{2}=16$，所以双曲线方程为$x^{2}-y^{2}=16$，即$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{16}=1$.

5. [教材改编]设双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b ＞ 0)$的焦点为$F_1,F_2,P$为双曲线上的一点,若$|PF_1| = 5$,则$|PF_2| = $______.

答案： 5.11　由双曲线的方程$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b\gt0)$，可得$a = 3$，根据双曲线的定义可知$|PF_{1}|-|PF_{2}|=\pm2a=\pm6$，又$|PF_{1}| = 5$，则$|PF_{2}| = 11$.

6. 已知双曲线$C:\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的焦距为$4\sqrt{3}$,实轴长为$4\sqrt{2}$,则双曲线$C$的渐近线方程为______.

答案： 6.$\sqrt{2}x\pm y = 0$由题意知，$2c = 4\sqrt{3}$，$2a = 4\sqrt{2}$，则$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2$，所以$C$的渐近线方程为$y=\pm\frac{a}{b}x=\pm\sqrt{2}x$，即$\sqrt{2}x\pm y = 0$.