《2025年高考帮数学》

1.[教材改编]已知$\{a_{n}\}$为等差数列,$S_{n}$为其前n项和,若$a_{1}+a_{3}+a_{5}=105,a_{2}+a_{4}+a_{6}=99$,则$S_{20}=$______.

答案： 400 设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$.
由$\begin{cases}a_{1}+a_{3}+a_{5}=105,\\a_{2}+a_{4}+a_{6}=99,\end{cases}$得$\begin{cases}3a_{3}=105,\\3a_{4}=99,\end{cases}$即$\begin{cases}a_{3}=35,\\a_{4}=33,\end{cases}$所以$d = - 2$,$a_{1}=39$,所以$S_{20}=20\times39+\frac{20\times(20 - 1)}{2}\times(-2)=400$.

2.[教材改编]已知$a_{n}=(-1)^{n}n$,则$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2n}=$______.

答案： $n$ 由题意可得，$a_{2n - 1}+a_{2n}=-(2n - 1)+2n = 1$,$\therefore a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{2n}=(a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+\cdots +(a_{2n - 1}+a_{2n})=1 + 1+\cdots + 1=n$.

3.已知等差数列的前三项和为2,后三项和为4,且所有项和为64,则该数列有______项.

答案： 64 设该等差数列为$\{ a_{n}\}$,由题意可得，$a_{1}+a_{2}+a_{3}=2$ ①，$a_{n}+a_{n - 1}+a_{n - 2}=4$ ②，① + ②得$3(a_{1}+a_{n})=6$,又$64=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2}$,可得$n = 64$,所以该数列有64项.

4.[易错题]数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2n - 10$,则$|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{15}|=$______.

答案： 130 易知$\{ a_{n}\}$为等差数列.设$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,当$a_{n}=2n - 10 = 0$时,$n = 5$,所以$\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+\cdots+\vert a_{15}\vert=-(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{5})+a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{15}=S_{15}-2S_{5}=130$.

例1 [2021新高考卷Ⅰ]已知数列{}
(1)，写出b₁，b₂，并求数列{}的通项公式；
(2)求{}的前20项和。

答案： 高考帮
例1
(1)因为$b_{n}=a_{2n}$，且$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n为奇数\\a_{n}+2,n为偶数\end{cases}$，所以$b_{1}=a_{2}=a_{1}+1=2$，$b_{2}=a_{4}=a_{3}+1=a_{2}+2+1=5$。因为$b_{n}=a_{2n}$，所以$b_{n + 1}=a_{2n + 2}=a_{2n + 1 + 1}=a_{2n + 1}+1=a_{2n}+2+1=a_{2n}+3$，所以$b_{n + 1}-b_{n}=a_{2n}+3 - a_{2n}=3$，所以数列$\{b_{n}\}$是以2为首项，3为公差的等差数列，$b_{n}=2 + 3(n - 1)=3n - 1$，$n\in\mathbf{N}^{*}$。
(2)因为$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n为奇数\\a_{n}+2,n为偶数\end{cases}$，所以$k\in\mathbf{N}^{*}$时，$a_{2k}=a_{2k - 1 + 1}=a_{2k - 1}+1$，即$a_{2k}=a_{2k - 1}+1$ ①，$a_{2k + 1}=a_{2k}+2$ ②，$a_{2k + 2}=a_{2k + 1 + 1}=a_{2k + 1}+1$，即$a_{2k + 2}=a_{2k + 1}+1$ ③，所以①+②得$a_{2k + 1}=a_{2k - 1}+3$，即$a_{2k + 1}-a_{2k - 1}=3$，所以数列$\{a_{n}\}$的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②+③得$a_{2k + 2}=a_{2k}+3$，即$a_{2k + 2}-a_{2k}=3$，又$a_{2}=2$，所以数列$\{a_{n}\}$的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列。所以数列$\{a_{n}\}$的前20项和$S_{20}=(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{19})+(a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots +a_{20})=10+\frac{10\times9}{2}\times3+20+\frac{10\times9}{2}\times3=300$。

训练1 公差为2的等差数列{}中，a₁，a₂，a₄成等比数列。
(1)求{}的通项公式；
(2)若数列{}满足的前20项和。

答案： 训练1
(1)因为等差数列$\{a_{n}\}$的公差为2，所以$a_{2}=a_{1}+2$，$a_{4}=a_{1}+6$。因为$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{4}$成等比数列，所以$(a_{1}+2)^{2}=a_{1}(a_{1}+6)$，解得$a_{1}=2$。所以$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2+(n - 1)\times2=2n$。
(2)因为$b_{n}=\begin{cases}a_{n},n\leqslant10\\b_{n - 5},n＞10\end{cases}$，所以$b_{16}+b_{17}+\cdots +b_{20}=b_{11}+b_{12}+\cdots +b_{15}=b_{6}+b_{7}+\cdots +b_{10}$，所以$\{b_{n}\}$的前20项和：$T_{20}=(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{5})+(b_{6}+b_{7}+\cdots +b_{10})+(b_{11}+b_{12}+\cdots +b_{15})+(b_{16}+b_{17}+\cdots +b_{20})=(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{5})+3(b_{6}+b_{7}+\cdots +b_{10})=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{5})+3(a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{10})=\frac{5(a_{1}+a_{5})}{2}+3\times\frac{5(a_{6}+a_{10})}{2}=\frac{5\times(2 + 10)}{2}+3\times\frac{5\times(12 + 20)}{2}=270$。