《2025年高考帮数学》

例3 [2021浙江高考]如图,已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,$M,N$分别是$A_{1}D,D_{1}B$的中点,则　　　(　　　)


A.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$垂直,直线$MN//$平面$ABCD$
B.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$平行,直线$MN\perp$平面$BDD_{1}B_{1}$
C.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$相交,直线$MN//$平面$ABCD$
D.直线$A_{1}D$与直线$D_{1}B$异面,直线$MN\perp$平面$BDD_{1}B_{1}$

答案： 例3A 解法一 以点D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设AB = 2，则A₁(2,0,2)，D(0,0,0)，D₁(0,0,2)，B(2,2,0)，所以M(1,0,1)，N(1,1,1)，所以$\overrightarrow{A_{1}D}=(-2,0,-2)$，$\overrightarrow{D_{1}B}=(2,2,-2)$，$\overrightarrow{MN}=(0,1,0)$，所以$\overrightarrow{A_{1}D}\cdot\overrightarrow{D_{1}B}=-4 + 0 + 4 = 0$，所以$A_{1}D\perp D_{1}B$.又由题图易知直线$A_{1}D$与$BD_{1}$是异面直线，所以$A_{1}D$与$BD_{1}$异面且垂直，故B，C不正确.因为平面ABCD的一个法向量为$n=(0,0,1)$，所以$\overrightarrow{MN}\cdot n = 0$，所以$MN//$平面ABCD，故A正确.设直线MN与平面$BDD_{1}B_{1}$所成的角为$\theta$，因为平面$BDD_{1}B_{1}$的一个法向量为$a=(-1,1,0)$，所以$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{MN},a\rangle|=\frac{|\overrightarrow{MN}\cdot a|}{|\overrightarrow{MN}|\cdot|a|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以直线MN与平面$BDD_{1}B_{1}$不垂直，故D不正确.故选A.
解法二 连接$AD_{1}$，则易知点M在$AD_{1}$上，且$AD_{1}\perp A_{1}D$.因为$AB\perp$平面$AA_{1}D_{1}D$，所以$AB\perp A_{1}D$，又$AB\cap AD_{1}=A$，所以$A_{1}D\perp$平面$ABD_{1}$，所以$A_{1}D$与$BD_{1}$异面且垂直，故B，C不正确.在$\triangle ABD_{1}$中，由中位线定理可得$MN// AB$，又$MN\not\subset$平面ABCD，$AB\subset$平面ABCD，所以$MN//$平面ABCD，故A正确.易知直线AB与平面$BB_{1}D_{1}D$成$45^{\circ}$角，所以MN与平面$BB_{1}D_{1}D$不垂直，故D不正确.故选A.

训练3 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 2BC$,$P,Q$分别为线段$AB,CD$的中点,$EP\perp$平面$ABCD$.
求证:(1)$AQ//$平面$CEP$;
(2)平面$AEQ\perp$平面$DEP$.

答案：
训练3
(1)如图，连接PQ，因为四边形ABCD为矩形，且P，Q分别为线段AB，CD的中点，则$PQ\perp AB$.
易知PA，PQ，PE两两垂直，以P为坐标原点，分别以PA，PQ，PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
　　　　　　　　　　　　　　　
设AB = 2，PE = a，则P(0,0,0)，A(1,0,0)，Q(0,1,0)，E(0,0,a)，C(-1,1,0)，D(1,1,0).
所以$\overrightarrow{AQ}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{PC}=(-1,1,0)$，所以$\overrightarrow{AQ}//\overrightarrow{PC}$，即$AQ// PC$.
(证明平面外直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行)
又$AQ\not\subset$平面CEP，$PC\subset$平面CEP，(注意说明前提条件)
所以$AQ//$平面CEP.
(2)由
(1)知$\overrightarrow{PD}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{PE}=(0,0,a)$，
因为$\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{PD}=(-1,1,0)\cdot(1,1,0)=-1 + 1 = 0$，所以$\overrightarrow{AQ}\perp\overrightarrow{PD}$，即$AQ\perp PD$.
因为$\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{PE}=(-1,1,0)\cdot(0,0,a)=0$，所以$\overrightarrow{AQ}\perp\overrightarrow{PE}$，即$AQ\perp PE$.
(证明直线方向向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直)
又$PD\cap PE = P$，$PE$，$PD\subset$平面DEP，所以$AQ\perp$平面DEP，
又$AQ\subset$平面AEQ，(注意说明前提条件)
所以平面$AEQ\perp$平面DEP.