《2025年高考帮数学》

例6 [2024福建三明第一中学模拟]已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin\pi x,0\leq x\leq1\\\log_{2024}x,x ＞ 1\end{cases}$，若实数$a$,$b$,$c$互不相等，且$f(a)=f(b)=f(c)$，则$a + b + c$的取值范围是
( )
A.$(2,2025)$　　　
　B.$(2,2025]$
C.$(2,2024)$　　　
　D.$(2,2024]$

答案：
例6A　函数$f(x)=\begin{cases}\sin\pi x,0\leqslant x\leqslant1,\\\log_{2024}x,x＞1\end{cases}$的图象如图所示，不妨令$a＜b＜c$，由$f(a)=f(b)=f(c)$及正弦曲线的对称性可知$a + b = 1$，$1＜c＜2024$，所以$2＜a + b + c＜2025$.故选A.

训练3 (1)把函数$f(x)=\ln|x - a|$的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在$(0,+\infty)$上单调递增，则$a$的最大值为
( )
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
(2)已知函数$f(x)=\begin{cases}(\frac{1}{2})^{x},x\geq1\\\log_{4}(x + 1),-1 ＜ x ＜ 1\end{cases}$则$f(x)\leq\frac{1}{2}x$的解集为( )
A.$(-\infty,0]$
B.$(-1,0]$
C.$(-1,0]\cup[1,+\infty)$
D.$[1,+\infty)$
(3)已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x}-x,x\leq0\\\log_{2}x - x,x ＞ 0\end{cases}$，若方程$f(x)=-2x + a$有两个不同的实数根，则实数$a$的取值范围是________.

答案：
训练3
(1)B把函数$f(x)=\ln|x - a|$的图象向左平移2个单位长度，得到函数$g(x)=\ln|x + 2 - a|$的图象，则函数$g(x)$在$(a - 2,+\infty)$上单调递增，又因为所得函数在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a - 2\leqslant0$，即$a\leqslant2$，所以$a$的最大值为2.
(2)C　作出函数$y = f(x)$与$y=\frac{1}{2}x$的图象，如图.结合图象知不等式$f(x)\leqslant\frac{1}{2}x$的解集为$(-1,0]\cup[1,+\infty)$，故选C.

(3)$(-\infty,1]$　方程$f(x)=-2x + a$有两个不同的实数根，即方程$f(x)+x=-x + a$有两个不同的根，等价于函数$y = f(x)+x$与函数$y=-x + a$的图象有两个不同的交点.因为$f(x)=\begin{cases}2^{x}-x,x\leqslant0,\\\log_{2}x - x,x＞0,\end{cases}$所以$y = f(x)+x=\begin{cases}2^{x},x\leqslant0,\\\log_{2}x,x＞0,\end{cases}$作出函数$y = f(x)+x$与$y=-x + a$的大致图象，如图所示.数形结合可知，当$a\leqslant1$时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程$f(x)=-2x + a$有两个不同的实数根.

1. 函数零点的概念
对于函数$y = f(x)$，我们把使①________的实数$x$叫做函数$y = f(x)$的零点.
　注意零点不是点，是满足$f(x)=0$的实数$x$.

答案： ①$f(x)=0$

2. 三个等价关系
　　　　　　　　　　　
　

答案： ②$x$轴 ③$f(x)=0$

3. 零点存在定理
如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有④____________，那么，函数$y = f(x)$在区间⑤________内至少有一个零点，即存在$c\in(a,b)$，使得⑥________，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解.

答案： ④$f(a)\cdot f(b)＜0$ ⑤$(a,b)$ ⑥$f(c)=0$