《2025年高考帮数学》

2.指数、对数、幂函数模型性质的比较

答案： ①快 ②慢 ③y ④x

1. 下列说法正确的是 ( )
A. 函数$y = 2^{x}$的函数值比$y = x^{2}$的函数值大
B. 幂函数增长比一次函数增长更快
C. 某种商品进价为每件100元,按进价增加10%后出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利
D. 在$(0, +\infty)$上,随着x的增大,$y = a^{x}(a ＞ 1)$的增长速度会超过并远大于$y = x^{\alpha}(\alpha ＞ 0)$的增长速度

答案： 1.D

2. 已知$f(x)=x^{2},g(x)=2^{x},h(x)=\log_{2}x$,当$x\in(4, +\infty)$时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是 ( )
A.$f(x)＞g(x)＞h(x)$
B.$g(x)＞f(x)＞h(x)$
C.$g(x)＞h(x)＞f(x)$
D.$f(x)＞h(x)＞g(x)$

答案： 2.B

3. [2021全国卷甲]青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据$L$和小数记录法的数据$V$满足$L = 5+\lg V$. 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为($\sqrt[10]{10}\approx1.259$) ( )
A. 1. 5
B. 1. 2
C. 0. 8
D. 0. 6

答案： 3.C 由题可知，$4.9 = 5+\lg V\Rightarrow\lg V=-0.1\Rightarrow V = 10^{-\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt[10]{10}}\approx\frac{1}{1.259}\approx0.8$，故选 C.

4. [2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释,假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过$y$天之后,你的数学水平$x$与$y$之间的函数关系式是 ( )
A.$y=\log_{0.95}x$
B.$y=\log_{0.995}x$
C.$y=\log_{1.005}x$
D.$y=\log_{1.05}x$

答案： 4.C 由题意得$x=(1 + \frac{5}{1000})^{y}=1.005^{y}$，化为对数函数得$y=\log_{1.005}x$，故选 C.