《2025年高考帮数学》

例1 (1)[天津高考]若棱长为$2\sqrt{3}$的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( )
A.$12\pi$ B.$24\pi$ C.$36\pi$ D.$144\pi$
(2)[全国卷Ⅰ]已知三棱锥$P - ABC$的四个顶点在球$O$的球面上,$PA = PB = PC$,$\triangle ABC$是边长为2的正三角形,$E,F$分别是$PA,AB$的中点,$\angle CEF = 90^{\circ}$,则球$O$的体积为 ( )
A.$8\sqrt{6}\pi$ B.$4\sqrt{6}\pi$ C.$2\sqrt{6}\pi$ D.$\sqrt{6}$
(3)[2023全国卷乙]已知点$S,A,B,C$均在半径为2的球面上,$\triangle ABC$是边长为3的等边三角形,$SA\perp$平面$ABC$,则$SA =$________.

答案：

(1)C设外接球的半径为R,易知2R=√3×2√3=6,所以R=3,于是外接球的表面积S=4πR²=36π,故选C.
(2)D　(补形法)因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF//PB,因为∠CEF=90°,所以EF⊥CE,所以PB⊥CE.
取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC⊥平面BDP,所以PB⊥AC,又AC∩CE=C,AC,CE⊂平面PAC,所以PB⊥平面PAC,
所以PB⊥PA,PB⊥PC,
因为PA=PB=PC,△ABC为正三角形,
所以PA⊥PC,即PA,PB,PC两两垂直.将三棱锥P−ABC放在正方体中,如图所示,

因为AB=2,所以该正方体的棱长为√2,
所以该正方体的体对角线长为√6，所以三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√6 / 2，所以球O的体积V = 4 / 3 πR³ = 4 / 3 π × (√6 / 2)³ = √6π.
(3)2　解法一　如图,设△ABC的外接圆
圆心为O₁,连接O₁A,因为△ABC是边长
为3的等边三角形，所以其外接圆半径r=O₁A = 2 / 3 × √3 / 2 × 3 = √3.将三棱锥S−ABC
补形为正三棱柱SBC−ABC,由题意知
SA为侧棱，设外接球的球心为O,连接OO₁,OA,则OO₁⊥平面
ABC,且OO₁ = 1 / 2 SA.又球O的半径R=OA=2,OA²=OO₁²+O₁A²,所以4 = 1 / 4 SA² + 3,得SA=2.

解法二　如图,设△ABC的外接圆圆心为
O₁,连接O₁A,因为△ABC是边长为3的等边三角形,所以其外接圆半径r=O₁A = 2 / 3 × √3 / 2 × 3 = √3.设三棱锥S−ABC的外接
球球心为O,连接OO₁,则OO₁⊥平面ABC.又SA⊥平面ABC,所以OO₁//SA,连接OS,OA,由题意知OS=OA=2.过O作SA的垂线，设垂足为H,则四边形AO₁OH为矩形,所以OO₁ = AH;由OS=OA 可知H为SA的中点,则OO₁ = AH = 1 / 2 SA.所以在Rt△OO₁A中,由勾股定理可得OA²=OO₁²+O₁A²,即4 = 1 / 4 SA² + 3,得SA=2.

训练1 (1)[2023湖南省郴州市适应性模拟]已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为1,则圆台的体积为 ( )
A.$\frac{5\sqrt{3}}{3}\pi$ B.$5\sqrt{3}\pi$
C.$\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ D.$7\sqrt{3}\pi$
(2)已知四棱锥$P - ABCD$的底面$ABCD$是矩形,其中$AD = 1,AB = 2$,平面$PAD\perp$平面$ABCD$,$\triangle PAD$为等边三角形,则四棱锥$P - ABCD$的外接球体积为 ( )
A.$\frac{16\pi}{3}$ B.$\frac{76\pi}{3}$
C.$\frac{32\sqrt{3}\pi}{3}$ D.$\frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$

答案：

(1)C　如图，设圆台的上底面的圆
心为O₁，下底面的圆心为O，点A为上底面
圆周上任意一点，连接O₁A，OA，OO₁，则
O₁A = 1，设圆台的高为h，球O的半径为R=OA=2,则h=OO₁ = √R² - O₁A² = √2² - 1² = √3,所以圆台的体积V = 1 / 3 (4π + √4π × π + π) × √3 = 7√3π / 3.故选C

(2)D　设AD的中点为F,连接PF,AC，
BD,设AC∩BD=E,连接EF,设△PAD外接圆的圆心为O₁,半径为r,所求外接球球心为O,半径为R,连接OO₁,OE,OP,如图
因为△PAD为等边三角形,AD=1,所以圆O₁的半径r=PO₁ = √3 / 2 × 1 × 2 / 3 = √3 / 3.
因为△PAD为等边三角形,F是AD的中点，所以PF⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF⊂平面PAD,所以PF⊥平面ABCD.
因为底面ABCD是矩形，所以E是底面ABCD外接圆的圆心，故OE⊥平面ABCD,
所以PF//OE.
同理OO₁//EF,又易得PF⊥EF,所以四边形OO₁FE是矩形,
所以OO₁ = EF = 1 / 2 AB = 1,
所以球O的半径R = √(√3 / 3)² + 1² = 2√3 / 3，
所以外接球的体积为V = 4 / 3 πR³ = 32√3π / 27.故选D.

例2 (1)[全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
(2)已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,在该圆锥内放置一个棱长为$a$的正四面体,并且正四面体在圆锥内可以任意转动,则$a$的最大值为________.

答案：

(1)√2π / 3 易知半径最大的球即该圆锥的
内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R,则sin∠BPE = R / OP = BE / PB = 1 / 3,
所以OP = 3R,所以PE = 4R = √PB² - BE² = √3² - 1² = 2√2,所以R = √2 / 2,所以内切球的体积V = 4 / 3 πR³ = √2π / 3,即该圆锥内半径最大的球的体积为√2π / 3.

(2)√2　解法一　由题意知,正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设球心为P，圆锥的顶点为S，圆锥底面圆的圆心为O，A，B为底面圆直径的两端点，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，连接SO,易知P在SO上，SO⊥AB,则OA=OB = 3 / 2.
因为SO = 3√3 / 2,所以SA=SB = √SO² + OB² = 3,
所以△SAB为等边三角形,可知点P是△SAB的中心.
连接BP,PQ,则BP平分∠SBA,所以∠PBO = 30°,设正四面体外接球的半径为r,于是tan 30° = r / (3 / 2) = √3 / 3,即r = √3 / 3 × 3 / 2 = √3 / 2,所以正四面体外接球的半径为√3 / 2.
因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为√6 / 4 a,则√6 / 4 a = √3 / 2,求得a = √2,所以a的最大值为√2.

解法二　由题意知，正四面体在圆锥内可以任意转动，则a最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥的顶点为S,圆锥底面圆的圆心为O,A,B为底面圆直径的两端点，圆锥的轴截面如图所示，则OA=OB = 3 / 2.
连接SO,则SO⊥AB,SO = 3√3 / 2,所以SA=SB = √SO² + OB² = 3,△SAB的面积S△SAB = 9√3 / 4.
由三角形内切圆半径公式r = 2S三角形 / (a + b + c) (其中S三角形是三角形的面积，a，b，c是三角形的三边长，r是三角形内切圆半径)知，△SAB内切圆的半径r = √3 / 2.
因为棱长为a的正四面体的外接球的半径为√6 / 4 a,则√6 / 4 a = √3 / 2,求得a = √2.所以a的最大值为√2.