《2025年高考帮数学》

训练2
（1）如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥DC，
　　　　　　　　　　　　
AD = DC = 2AB，E为AD的中点，若$\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{DB}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则λ + μ的值为（ ）
A. $\frac{6}{5}$ B. $\frac{8}{5}$ C. 2 D. $\frac{8}{3}$
（2）已知平面上的三个点A(-2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，若A，B，C，D四点能构成平行四边形，则点D的坐标为________.

答案：
训练2
(1)B 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)。不妨设AB = 1，则CD = AD = 2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴$\overrightarrow{CA}=(-2,2)$，$\overrightarrow{CE}=(-2,1)$，$\overrightarrow{DB}=(1,2)$，
∵$\overrightarrow{CA}=\lambda\overrightarrow{CE}+\mu\overrightarrow{DB}$，
∴$(-2,2)=\lambda(-2,1)+\mu(1,2)$，
∴$\begin{cases}-2\lambda+\mu=-2\\\lambda + 2\mu = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{6}{5}\\\mu=\frac{2}{5}\end{cases}$，故$\lambda+\mu=\frac{8}{5}$。

(2)(2,2)或(4,6)或(-6,0) 由四边形ABCD为平行四边形，得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，可解得D(2,2)。由四边形ABDC为平行四边形，得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$，可解得D(4,6)。由四边形ADBC为平行四边形，得$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$，可解得D(-6,0)。因此，使A，B，C，D四点构成平行四边形的点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0)。

例3
（1）[2021全国卷乙]已知向量a = (2,5)，b = ($\lambda$,4)，若a//b，则$\lambda$ = ________.
（2）已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，AD与BC交于点M，则点M的坐标为________.

答案： 例3
(1)$\frac{8}{5}$ 因为$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，所以$2\times4 - 5\lambda = 0$，解得$\lambda=\frac{8}{5}$。
(2)$(\frac{12}{7},2)$ 由已知可得点C(0,$\frac{5}{4}$)，点D(2,$\frac{3}{2}$)。因为A，M，D三点共线，所以$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{AD}$共线，设M的坐标为(x,y)，则$\overrightarrow{AM}=(x,y - 5)$，又$\overrightarrow{AD}=(2,-\frac{7}{2})$，所以$-\frac{7}{2}x - 2(y - 5)=0$，即$7x + 4y = 20$。因为C，M，B三点共线，所以$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{CB}$共线，又$\overrightarrow{CM}=(x,y - \frac{5}{4})$，$\overrightarrow{CB}=(4,\frac{7}{4})$，所以$\frac{7}{4}x - 4(y - \frac{5}{4})=0$，即$7x - 16y = - 20$。由$\begin{cases}7x + 4y = 20\\7x - 16y = - 20\end{cases}$，得$\begin{cases}x=\frac{12}{7}\\y = 2\end{cases}$，所以点M的坐标为($\frac{12}{7}$,2)。

训练3
（1）[2023贵州省联考]已知$P_1$(3,2)，$P_2$(9,11)，P(5,y)，$\overrightarrow{P_1P}=\lambda\overrightarrow{PP_2}$，则y与$\lambda$的值分别为（ ）
A. y = 8，$\lambda$ = 2 B. y = $\frac{13}{2}$，$\lambda$ = $\frac{1}{2}$
C. y = $\frac{15}{4}$，$\lambda$ = $\frac{1}{2}$ D. y = 5，$\lambda$ = $\frac{1}{2}$
（2）设0 ＜ $\theta$ ＜ $\frac{\pi}{2}$，向量a = (sin 2$\theta$,cos $\theta$)，b = (cos $\theta$,1)，若a//b，则tan $\theta$ = ______.

答案： 训练3
(1)D 因为$P_1(3,2)$，$P_2(9,11)$，$P(5,y)$，所以$\overrightarrow{P_1P}=(2,y - 2)$，$\overrightarrow{PP_2}=(4,11 - y)$，由$\overrightarrow{P_1P}=\lambda\overrightarrow{PP_2}$，得$(2,y - 2)=\lambda(4,11 - y)=(4\lambda,11\lambda - \lambda y)$，所以$\begin{cases}2 = 4\lambda\\y - 2 = 11\lambda - \lambda y\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{1}{2}\\y = 5\end{cases}$，故选D。
(2)$\frac{1}{2}$
∵$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，
∴$\sin2\theta=\cos^{2}\theta$，
∴$2\sin\theta\cos\theta=\cos^{2}\theta$。
∵$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，
∴$2\sin\theta=\cos\theta$，$\tan\theta=\frac{1}{2}$。

已知两个非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$，$O$是平面上的任意一点. 作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则①______叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，记作$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$.||设$\theta$是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，则$\theta$的取值范围是②______.| $\theta = 0$或$\pi\Leftrightarrow$③______，④______$\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$.

答案： ①$\angle AOB$ ②$[0,\pi ]$ ③$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$ ④$\theta =\frac{\pi}{2}$

2.平面向量的数量积
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，我们把数量⑤__________叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积，记作⑥____.
注意 零向量与任一向量的数量积为0.

答案： ⑤$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ ⑥$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$