《2025年高考帮数学》

训练[2024湖北部分重点中学联考/12分]如图,在三棱台ABC−DEF中,平面BCFE⊥平面
ABC,∠ACB=90°,BC=2,AC=3,BE=EF=FC=1.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B−AD−F的平面角的余弦值.
　　　

答案：
大题规范4　立体几何
训练
(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC = BC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,又BF⊂平面BCK,因此BF⊥AC. (2分)
又EF//BC,BE = EF = FC = 1,BC = 2,
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点, (3分)
则BF⊥CK,又CK∩AC = C,
所以BF⊥平面ACFD. (4分)
(2)如图,取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC.
又平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC = BC,KO⊂平面BCFE,
所以KO⊥平面ABC.
以点O为坐标原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz. (5分)
由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,√3),A(-1,-3,0),E(1/2,0,√3/2).
因此,AC→=(0,3,0),AK→=(1,3,√3),AB→=(2,3,0). (6分)
设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),
平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).
由{AC→·m = 0,AK→·m = 0,得{3y1 = 0,x1 + 3y1 + √3z1 = 0,
取m=(√3,0,-1). (8分)
由{AB→·n = 0,AK→·n = 0,得{2x2 + 3y2 = 0,x2 + 3y2 + √3z2 = 0,
取n=(3,-2,√3).
于是,cos＜m,n＞=m·n/|m||n|=(3√3 - √3)/(√(3 + 1)×√(9 + 4 + 3))=√3/4. (11分)
由图知二面角B - AD - F的平面角为锐角,
所以二面角B - AD - F的平面角的余弦值为√3/4. (12分)