《2025年高考帮数学》

3.已知直线$a//$平面$\alpha$，$P\in\alpha$，那么过点$P$且平行于直线$a$的直线有________条.

答案： 1

4.[易错题]如图是长方体被一平面所截得的几何体，截面为四边形$EFGH$，则四边形$EFGH$的形状是________.

答案： 平行四边形 因为平面$ABFE//$平面$DCGH$，又平面$EFGH\cap$平面$ABFE = EF$，平面$EFGH\cap$平面$DCGH = HG$，所以$EF// HG$.同理，$EH// FG$，所以四边形$EFGH$是平行四边形

例1　[2023上海高考节选]如图，直四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB//DC，AB⊥AD，AB = 2，AD = 3，DC = 4. 求证：A₁B//平面DCC₁D₁.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解法一
∵AB//DC，AB⊄平面DCC₁D₁，CD⊂平面DCC₁D₁，
∴AB//平面DCC₁D₁。
∵AA₁//DD₁，AA₁⊄平面DCC₁D₁，DD₁⊂平面DCC₁D₁，
∴AA₁//平面DCC₁D₁。
又AB∩AA₁ = A，
∴平面ABB₁A₁//平面DCC₁D₁。
又A₁B⊂平面ABB₁A₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁。
解法二　如图，取CD的中点E，连接BE，D₁E，则DE = 2。
∵AB//DC，AB = 2，
∴AB≌DE，
∴BE//AD。
∴四边形ABED为平行四边形，
∴BE≌AD。
又AD//A₁D₁，
∴BE//A₁D₁。
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形。
∴A₁B//D₁E。
又D₁E⊂平面DCC₁D₁，A₁B⊄平面DCC₁D₁，
∴A₁B//平面DCC₁D₁。

例2　[北京高考节选]如图，在正方形AMDE中，B，C分别为AM，MD的中点. 在五棱锥P - ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. 求证：AB//FG.
　　　　　　　　　　　　

答案： 在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB//DE。又AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，
所以AB//平面PDE。
因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE = FG，
所以AB//FG。