《2025年高考帮数学》

训练3 [2023高三名校联考节选]如图，四棱锥P - ABCD的底面为菱形，∠ABC = π/3，AB = AP = 2，PA⊥底面ABCD，E是线段PB的中点，G，H分别是线段PC上靠近P，C的三等分点. 求证：平面AEG//平面BDH.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
如图，连接AC，交BD于点O，连接OH，在△PBH中，E，G分别为PB，PH的中点，所以EG//BH，又EG⊄平面BDH，BH⊂平面BDH，所以EG//平面BDH。同理可得AG//平面BDH，因为AG，EG⊂平面AEG，AG∩EG = G，所以平面AEG//平面BDH。

例5 [山东高考节选]在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线. 已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH//平面ABC.　　　　　　　　　　　

答案：
如图，连接CF，设CF的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为G，I分别是CE，CF的中点，所以GI//EF。
连接OB，易知EF//OB，
所以GI//OB。
因为GI⊄平面ABC，OB⊂平面ABC，所以GI//平面ABC。
在△BCF中，因为H，I分别是BF，CF的中点，
所以HI//BC。
因为HI⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以HI//平面ABC。
又HI∩GI = I，HI⊂平面GHI，GI⊂平面GHI，
所以平面GHI//平面ABC。
因为GH⊂平面GHI，
所以GH//平面ABC。

训练4 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，BC//平面PAD，BC = 1/2AD，E是PD的中点.
(1)求证：CE//平面PAB.
(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN//平面PAB？请说明理由.　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，取AP的中点F，连接EF，BF，
因为E，F分别是PD，AP的中点，所以EF//AD且EF = $\frac{1}{2}$AD。
又BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD = AD，所以BC//AD。
又BC = $\frac{1}{2}$AD，所以EF//BC且EF = BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE//BF。
又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE//平面PAB。

(2)线段AD上存在点N，且点N为AD的中点，使得MN//平面PAB。理由如下：
如图，取AD的中点N，连接CN，EN，
因为E，N分别为PD，AD的中点，所以EN//PA。
因为EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EN//平面PAB。
由
(1)知，CE//平面PAB，又CE∩EN = E，CE，EN⊂平面CEN，
所以平面CEN//平面PAB。
连接MN，则MN⊂平面CEN，所以MN//平面PAB。
于是在线段AD上存在点N，使得MN//平面PAB。