《2025年高考帮数学》

例4 (1)[2021浙江高考]已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,大于$\frac{1}{2}$的个数的最大值是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 例4
(1)C 因为α,β,γ是互不相同的锐角,所以sinα,cosβ,sinβ,cosγ,sinγ,cosα均为正数.由基本不等式可知sinαcosβ≤$\frac{sin^{2}α+cos^{2}β}{2}$,sinβcosγ≤$\frac{sin^{2}β+cos^{2}γ}{2}$,sinγcosα≤$\frac{sin^{2}γ+cos^{2}α}{2}$,三式相加可得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤$\frac{3}{2}$,当且仅当sinα = cosβ,sinβ = cosγ,sinγ = cosα,即α = β = γ=$\frac{π}{4}$时取等号,因为α,β,γ是互不相同的锐角,所以sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα＜$\frac{3}{2}$,所以sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα不会都大于$\frac{1}{2}$.若取α=$\frac{π}{6}$,β=$\frac{π}{3}$,γ=$\frac{π}{4}$,则sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$,sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$＞$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$＞$\frac{1}{2}$,所以三个值中大于$\frac{1}{2}$的个数的最大值为2.故选C.

(2)[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x,y满足$x^{2}+y^{2}-xy = 1$,则 ( )
A.x + y≤1
B.x + y≥ - 2
C.$x^{2}+y^{2}$≤2
D.$x^{2}+y^{2}$≥1

答案：
(2)BC 解法一 由题意得,x^{2}+y^{2}=xy + 1,所以(x + y)^{2}=3xy + 1,当x＞0且y＞0时,显然有(x + y)^{2}＞1,即x + y＞1,故A错误.因为x^{2}+y^{2}≥2xy,所以xy + 1≥2xy,所以xy≤1,所以x^{2}+y^{2}≤2,当且仅当x = y时等号成立,故C正确.因为(x + y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=3xy + 1≤4,所以|x + y|≤2,所以 - 2≤x + y≤2,故B正确.因为x^{2}+y^{2}=xy + 1,所以当xy＜0时,x^{2}+y^{2}＜1,故D错误.故选BC.
解法二 由x^{2}+y^{2}-xy=(x - $\frac{1}{2}$y)^{2}+$\frac{3}{4}$y^{2}=1,可设x - $\frac{1}{2}$y = cosα,$\frac{\sqrt{3}}{2}$y = sinα,所以x=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$+cosα,y=$\frac{2sinα}{\sqrt{3}}$.x + y=$\sqrt{3}$sinα+cosα=2sin(α+$\frac{π}{6}$)∈[-2,2],且当α=$\frac{π}{3}$时,x + y可取得最大值2,故A错误,B正确.x^{2}+y^{2}=$\frac{\sqrt{3}sin2α - cos2α + 4}{3}$=$\frac{2sin(2α - \frac{π}{6})+4}{3}$∈[$\frac{2}{3}$,2],且当α= - $\frac{π}{6}$时,x^{2}+y^{2}取得最小值$\frac{2}{3}$,所以C正确,D错误,故选BC.

例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是____ .

答案： 例5 30 一年购买$\frac{600}{x}$次,则总运费与总存储费用之和为$\frac{600}{x}$×6+4x = 4($\frac{900}{x}$+x)≥8$\sqrt{\frac{900}{x}×x}$=240,当且仅当x = 30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品. 已知生产该产品的年固定成本为200万元,最大产能为100台,每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且$G(x) =\begin{cases}x^{2}+120x,0 ＜ x\leq50,\\201x+\frac{4900}{x}-2100,50 ＜ x\leq100\end{cases}$每台该产品的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:台)的函数解析式(利润 = 销售收入 - 成本).
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大? 最大利润是多少?

答案： 例6
(1)由题意可得,当0＜x≤50时,W(x)=200x-(x^{2}+120x)-200=-x^{2}+80x - 200,当50＜x≤100时,W(x)=200x-(201x+$\frac{4900}{x}$-2100)-200=-(x+$\frac{4900}{x}$)+1900,故W(x)=$\begin{cases}-x^{2}+80x - 200,0＜x≤50\\-(x+\frac{4900}{x})+1900,50＜x≤100\end{cases}$.
(2)当0＜x≤50时,W(x)=-x^{2}+80x - 200=-(x - 40)^{2}+1400,W(x)_{max}=W
(40)=1400;
当50＜x≤100时,W(x)=-(x+$\frac{4900}{x}$)+1900≤-2$\sqrt{x\cdot\frac{4900}{x}}$+1900=1760,当且仅当x=$\frac{4900}{x}$,即x = 70时等号成立,此时W(x)_{max}=1760.
综上可知,该产品的年产量为70台时,公司所获利润最大,最大利润是1760万元.

训练2 (1)[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC中,$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设$\overrightarrow{CE}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$(x,y∈R),则$\frac{8x + 3y}{3xy}$的最小值是 ( )
A.6
B.7
C.8
D.9

答案：
训练2
(1)D 如图,因为$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$,所以$\overrightarrow{CB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CD}$,因为$\overrightarrow{CE}=x\overrightarrow{CA}+\frac{3}{2}y\overrightarrow{CD}$,因为A,D,E三点共线,所以x+$\frac{3}{2}$y = 1,易知x＞0,y＞0,所以$\frac{8x + 3y}{3xy}=\frac{8}{3y}+\frac{1}{x}=(\frac{8}{3y}+\frac{1}{x})(x+\frac{3}{2}y)=\frac{8x}{3y}+4 + 1+\frac{3y}{2x}≥2\sqrt{\frac{8x}{3y}\cdot\frac{3y}{2x}}+5 = 9$,当且仅当$\frac{8x}{3y}=\frac{3y}{2x}$,即x=$\frac{1}{3}$,y=$\frac{4}{9}$时取等号,所以$\frac{8x + 3y}{3xy}$的最小值是9,故选D.

(2)[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉,已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD,为了方便居民观赏,在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道,则种植花卉区域的最大面积是 ( )


A.1208平方米
B.1448平方米
C.1568平方米
D.1698平方米

答案：
(2)C 设AB = x米,x＞0,则种植花卉区域的面积S=(x - 4)($\frac{1800}{x}$-2)=-2x-$\frac{7200}{x}$+1808.因为x＞0,所以2x+$\frac{7200}{x}$≥2$\sqrt{14400}$=240,当且仅当x = 60时,等号成立,则S≤-240+1808 = 1568,即当AB = 60米,BC = 30米时,种植花卉区域的面积取得最大值,最大值是1568平方米,故选C.