《2025年高考帮数学》

2.立体图形的直观图
(1)画法:常用斜二测画法.
(2)规则

a.原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,∠x'O'y' = ⑬____(O'为x'轴与y'轴的交点),z'轴与x'轴和y'轴所在平面⑭____.
b.原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍⑮____于坐标轴.
c.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度⑯____,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的⑰____.
(3)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与原图形面积的关系:$S_{直观图}$ = ⑱____$S_{原图形}$.

答案： ⑬45°或135° ⑭垂直 ⑮平行 ⑯不变 ⑰一半 ⑱$\frac{\sqrt{2}}{4}$

3.简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式


说明 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系:$S_{圆柱侧}=2\pi rl\xleftarrow{r' = r}S_{圆台侧}=\pi(r + r')l\xrightarrow{r' = 0}S_{圆锥侧}=\pi rl$.

答案： ⑲$2\pi rl$ ⑳$\pi rl$ ㉑$\pi (r + r')l$

(2)简单几何体的表面积与体积

答案： ㉒$S_{底}h$ ㉓$\frac{1}{3}S_{底}h$ ㉔$4\pi R^{2}$ ㉕$\frac{4}{3}\pi R^{3}$

1.[易错题]如图,长方体ABCD - A'B'C'D'被平面EFGH截去几何体B'C'HEFG,其中EH//A'D',则剩下的几何体是 ( )

A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱

答案： 1.C

2.[多选/教材改编]给出下列命题,其中错误的是 ( )
A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B.三棱锥的四个面最多有三个直角三角形
C.在四棱柱中,若两个过相对棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱
D.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

答案： 2.ABD

3.[易错题]圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为______.

答案： 3.$24\pi^{2}+18\pi$或$24\pi^{2}+8\pi$

4.用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥,放在水平桌面上,被一阵风吹倒,如图所示,则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为______.

答案：
4.$5\sqrt{3}$cm 画出示意图，如图所示，设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
根据题意知l = 10 cm，且$2\pi r=\pi l$，故r = 5 cm.
所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10 cm.
故被吹倒后该无底圆锥的最高点到底面的距离即边长为10 cm的等边三角形的高，此高为$5\sqrt{3}$cm.