《2025年高考帮数学》

第2讲　　两条直线的位置关系

注意：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率都不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况。

答案： $k_{1}k_{2}=-1$
@@$A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$
@@$k_{1}=k_{2}$且$b_{1}\neq b_{2}$

注意：点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式；(2)求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且$x,y$的系数对应相等。
基础自测

答案： $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
@@$\frac{\vert Ax_{0}+By_{0}+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
@@$\frac{\vert C_{1}-C_{2}\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

1.下列说法正确的是 ( )
A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交
B.点$P(x_{0},y_{0})$到直线$y = kx + b$的距离为$\frac{|kx_{0} + b|}{\sqrt{1 + k^{2}}}$
C.当直线$l_{1}$和直线$l_{2}$的斜率都存在时，一定有$k_{1} = k_{2}\Rightarrow l_{1}// l_{2}$
D.若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于 - 1

答案： A

2.设直线$l_{1}:y = k_{1}x + 1,l_{2}:y = k_{2}x - 1$，其中实数$k_{1},k_{2}$满足$k_{1}k_{2} + 2 = 0$，则$l_{1}$与$l_{2}$的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定

答案： B 假设$l_{1}$与$l_{2}$平行或重合，有$k_{1}=k_{2}$，代入$k_{1}k_{2}+2 = 0$，得$k_{1}^{2}+2 = 0$，与$k_{1}$为实数的事实相矛盾，从而$k_{1}\neq k_{2}$，即$l_{1}$与$l_{2}$相交. 故选 B.

3.已知直线$l_{1}:3x - y - 1 = 0,l_{2}:x + 2y - 5 = 0,l_{3}:x - ay - 3 = 0$不能围成三角形，则实数$a$的取值不可能为 ( )
A.1 B.$\frac{1}{3}$ C. - 2 D. - 1

答案： A 由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点. 若其中有两条直线平行，当$l_{1}// l_{3}$时，可得$a=\frac{1}{3}$，当$l_{2}// l_{3}$时，可得$a = - 2$；若三条直线经过同一点，由$\begin{cases}3x - y = 1\\x + 2y = 5\end{cases}$，可得直线$l_{1}$与$l_{2}$的交点为$(1,2)$，则$(1,2)$在$l_{3}$上，故可得$1 - 2a - 3 = 0$，解得$a = - 1$. 综上，实数$a$的值可能为$\frac{1}{3}$，$-2$，$-1$. 故选 A.

4.[易错题]直线$2x + 2y + 1 = 0$与$x + y + 2 = 0$之间的距离是______.

答案： $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ 先将$2x + 2y + 1 = 0$化为$x + y+\frac{1}{2}=0$，则两平行线间的距离$d=\frac{\vert2-\frac{1}{2}\vert}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$.（注意应用公式时$x$，$y$的系数分别对应相等）

5.[教材改编]已知点$A(2,1),B(3,4),C( - 2, - 1)$，则$\triangle ABC$的面积为______.

答案： 5 解法一 设$AB$边上的高为$h$，则$h$就是点$C$到$AB$所在直线的距离.$\vert AB\vert=\sqrt{(3 - 2)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{10}$. 由两点式可得$AB$边所在直线的方程为$\frac{y - 1}{4 - 1}=\frac{x - 2}{3 - 2}$，即$3x - y - 5 = 0$. 点$C(-2,-1)$到直线$3x - y - 5 = 0$的距离$h=\frac{\vert3\times(-2)-(-1)-5\vert}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{10}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times\vert AB\vert\times h=\frac{1}{2}\times\sqrt{10}\times\sqrt{10}=5$.
解法二 易知$\overrightarrow{AB}=(1,3)$，$\overrightarrow{AC}=(-4,-2)$，所以$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}\times\vert1\times(-2)-3\times(-4)\vert = 5$.（二级结论：若$\overrightarrow{AB}=(x,y)$，$\overrightarrow{AC}=(u,v)$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\vert xv - yu\vert$）