《2025年高考帮数学》

2. 矩形两边长分别为$a,b$，且$a + 2b = 6$，则矩形面积的最大值是 ( )
A. 4
B. $\frac{9}{2}$
C. $3\sqrt{2}$
D. 2

答案： 2.B 依题意可得$a ＞ 0,b ＞ 0$，则$6 = a + 2b\geqslant 2\sqrt{a\cdot 2b}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{ab}$，当且仅当$a = 2b$时取等号，所以$ab\leqslant\frac{6^{2}}{8}=\frac{9}{2}$，即矩形面积的最大值为$\frac{9}{2}$. 故选 B.

3. 已知$a,b$为正数，则下列不等式中不成立的是 ( )
A. $ab\leq\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$
B. $ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2}$
C. $\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq\frac{a + b}{2}$
D. $\frac{2ab}{a + b}\geq\sqrt{ab}$

答案： 3.D 易知 A，B 成立；对于 C，因为$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$，所以$2(a^{2}+b^{2})\geqslant (a + b)^{2}$，所以$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant (\frac{a + b}{2})^{2}$，所以$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant\frac{a + b}{2}$，故 C 成立；对于 D，取$a = 4,b = 1$，代入可知，不等式不成立，故 D 不成立.由以上分析可知，选 D.

4. [教材改编]已知$x ＞2$，则$\frac{4}{x - 2}+x$的最小值是______.

答案： 4.6 由$x ＞ 2$知$x - 2 ＞ 0$，则$\frac{4}{x - 2}+x=\frac{4}{x - 2}+(x - 2)+2\geqslant 2\sqrt{\frac{4}{x - 2}\cdot(x - 2)}+2 = 6$，当且仅当$\frac{4}{x - 2}=x - 2$，即$x = 4$时取“$=$”，所以$\frac{4}{x - 2}+x$的最小值是 6.

例1 (1)[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0,则2a+ $\frac{9}{a + b}+\frac{4}{a - b}$的最小值为 ( )
A.4
B.6
C.3
D.10

答案： 高考帮
例1
(1)D
∵a＞b＞0,
∴a + b＞0,a - b＞0,
∴2a+$\frac{9}{a + b}$+$\frac{4}{a - b}$=[(a + b)+$\frac{9}{a + b}$]+[(a - b)+$\frac{4}{a - b}$]≥2$\sqrt{(a + b)\cdot\frac{9}{a + b}}$+2$\sqrt{(a - b)\cdot\frac{4}{a - b}}$=6 + 4 = 10,当且仅当a + b=$\frac{9}{a + b}$且a - b=$\frac{4}{a - b}$,即a=$\frac{5}{2}$,b=$\frac{1}{2}$时取等号,故2a+$\frac{9}{a + b}$+$\frac{4}{a - b}$的最小值为10.故选D.

(2)[2024宁夏银川模拟]已知0 ＜ x ＜ 4,则$\sqrt{x(4 - x)}$的最大值为____ .

答案：
(2)2 0＜x＜4,则0＜4 - x＜4,由基本不等式可得$\sqrt{x(4 - x)}$≤$\frac{x + 4 - x}{2}$=2,当且仅当x = 4 - x,即x = 2时,等号成立.故$\sqrt{x(4 - x)}$的最大值为2.

例2 (1)[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a,b满足8a + 4b = ab,则8a + b的最小值为 ( )
A.54
B.56
C.72
D.81

答案： 例2
(1)C解法一 因为8a + 4b = ab,所以b=$\frac{8a}{a - 4}$＞0,因为a＞0,所以a＞4,所以8a + b = 8a+$\frac{8a}{a - 4}$=$\frac{8(a^{2}-3a)}{a - 4}$=8[(a - 4)+$\frac{4}{a - 4}$+5]≥8×(2$\sqrt{4}$+5)=72,当且仅当a = 6时取等号.故选C.
解法二
∵8a + 4b = ab,a＞0,b＞0,
∴$\frac{8}{b}$+$\frac{4}{a}$=1,
∴8a + b=(8a + b)($\frac{8}{b}$+$\frac{4}{a}$)=$\frac{64a}{b}$+$\frac{4b}{a}$+40≥2$\sqrt{64×4}$+40 = 72,当且仅当$\frac{64a}{b}$=$\frac{4b}{a}$,即a = 6,b = 24时取“ = ”,故选C.

(2)[山东高考]若直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a + b的最小值为 .

答案：
(2)8
∵直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a＞0,b＞0)过点(1,2),
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1.
∵a＞0,b＞0,
∴2a + b=(2a + b)($\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$)=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{4a}{b}}$=8,当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$和$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=1同时成立,即a = 2,b = 4时等号成立,
∴2a + b的最小值为8.

例3 (1)[2024河南名校调研]若正数x,y满足xy - 2x - y = 0,则x + $\frac{y}{2}$的最小值是 ( )
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.4
D.$4\sqrt{2}$

答案： 例3
(1)C 因为正数x,y满足xy - 2x - y = 0,所以y=$\frac{2x}{x - 1}$＞0,则x - 1＞0,所以x+$\frac{y}{2}$=x+$\frac{x}{x - 1}$=x+$\frac{1}{x - 1}$+1=x - 1+$\frac{1}{x - 1}$+2≥2$\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}$+2 = 4,当且仅当x - 1=$\frac{1}{x - 1}$,即x = 2时,等号成立.故选C.

(2)[江苏高考]已知$5x^{2}y^{2}+y^{4}=1$(x,y∈R),则$x^{2}+y^{2}$的最小值是 .

答案：
(2)$\frac{4}{5}$ 解法一 由5x^{2}y^{2}+y^{4}=1得x^{2}=$\frac{1}{5y^{2}}$-$\frac{y^{2}}{5}$,则x^{2}+y^{2}=$\frac{1}{5y^{2}}$+$\frac{4y^{2}}{5}$≥2$\sqrt{\frac{1}{5y^{2}}\cdot\frac{4y^{2}}{5}}$=$\frac{4}{5}$,当且仅当$\frac{1}{5y^{2}}$=$\frac{4y^{2}}{5}$,即y^{2}=$\frac{1}{2}$时取等号,故x^{2}+y^{2}的最小值是$\frac{4}{5}$.
解法二 因为4=(5x^{2}+y^{2})·4y^{2}≤[$\frac{(5x^{2}+y^{2})+4y^{2}}{2}$]^{2}=$\frac{25}{4}$(x^{2}+y^{2})^{2},所以x^{2}+y^{2}≥$\frac{4}{5}$,当且仅当5x^{2}+y^{2}=4y^{2}=2,即x^{2}=$\frac{3}{10}$,y^{2}=$\frac{1}{2}$时取等号,故x^{2}+y^{2}的最小值是$\frac{4}{5}$.

训练1 (1)[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x,y满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$,若关于m的不等式$x + \frac{y}{4} ＜ m^{2}+3m$有解,则实数m的取值范围是 ( )
A.( - 1,4)
B.( - 4,1)
C.( - ∞, - 4)∪(1, + ∞)
D.( - ∞, - 3)∪(0, + ∞)

答案： 训练1
(1)C
∵正实数x,y满足$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1,
∴x+$\frac{y}{4}$=(x+$\frac{y}{4}$)($\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$)=2+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{4x}$≥2+2$\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{4x}}$=4,当且仅当$\frac{4x}{y}$=$\frac{y}{4x}$且$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=1,即x = 2,y = 8时取等号.
∵不等式x+$\frac{y}{4}$＜m^{2}+3m有解,
∴4＜m^{2}+3m,解得m＞1或m＜ - 4,即m∈(-∞,-4)∪(1,+∞).故选C.

(2)[2021天津高考]若a＞0,b＞0,则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$的最小值为____ .

答案：
(2)2$\sqrt{2}$ 因为$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b^{2}}$+b≥2$\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{b^{2}}}$+b=$\frac{2}{b}$+b≥2$\sqrt{2}$,当且仅当$\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{a}{b^{2}}\\\frac{2}{b}=b\end{cases}$,即a = b=$\sqrt{2}$时取等号,所以$\frac{1}{a}$+$\frac{a}{b^{2}}$+b的最小值为2$\sqrt{2}$.

(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x,y,z满足$4x^{2}-3xy + y^{2}-z = 0$,则$\frac{xy}{z}$的最大值为____ .

答案：
(3)1 因为4x^{2}-3xy + y^{2}-z = 0,所以z = 4x^{2}-3xy + y^{2},所以$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{4x^{2}-3xy + y^{2}}$=$\frac{1}{\frac{4x}{y}-3+\frac{y}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{x}}-3}$=$\frac{1}{2×2 - 3}$=1,当且仅当$\frac{4x}{y}$=$\frac{y}{x}$,即y = 2x时等号成立,所以$\frac{xy}{z}$的最大值为1.