《2025年高考帮数学》

训练3　[2021浙江高考]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}(n\in N)$，记数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则 ( )
A.$\frac{3}{2}＜S_{100}＜3$
B.$3＜S_{100}＜4$
C.$4＜S_{100}＜\frac{9}{2}$
D.$\frac{9}{2}＜S_{100}＜5$

答案： A 因为a_{1}=1，a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}(n∈N^{*})，所以a_{n}＞0，
a_{2}=\frac{1}{2}，所以S_{100}＞\frac{3}{2}。\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{1+\sqrt{a_{n}}}{a_{n}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}=(\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}，所以\frac{1}{a_{n + 1}}＜(\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}+\frac{1}{2})^{2}，两边同时开方可得\frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}}＜\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}+\frac{1}{2}，则\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}＜\frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}}}+\frac{1}{2}，…，\frac{1}{\sqrt{a_{2}}}＜\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{1}{2}，由累加法可得\frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}}＜\frac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\frac{n}{2}=1+\frac{n}{2}，所以\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}≤1+\frac{n - 1}{2}=\frac{n + 1}{2}，所以\sqrt{a_{n}}≥\frac{2}{n + 1}，所以a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}≤\frac{a_{n}}{1+\frac{2}{n + 1}}=\frac{n + 1}{n + 3}a_{n}，即\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}≤\frac{n + 1}{n + 3}，则\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}≤\frac{n}{n + 2}，…，\frac{a_{2}}{a_{1}}≤\frac{2}{4}，由累乘法可得当n≥2时，a_{n}=\frac{a_{n}}{a_{1}}≤\frac{n}{n + 2}×\frac{n - 1}{n + 1}×\frac{n - 2}{n}×…×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}=\frac{6}{(n + 2)(n + 1)}=6(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})，所以S_{100}＜1+6(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{101}-\frac{1}{102})=1+6(\frac{1}{3}-\frac{1}{102})＜1+2 = 3，故选A。

例1 [2023全国卷乙]记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{2}=11,S_{10}=40$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)求数列$\{ |a_{n}|\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案：
(1)设$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$\begin{cases}a_{2}=a_{1}+d = 11,\\S_{10}=10a_{1}+45d = 40,\end{cases}$
解得$a_{1}=13$，$d = - 2$.
所以$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=13+(n - 1)\times(-2)=15 - 2n$.
(2)由
(1)得$\vert a_{n}\vert=\begin{cases}15 - 2n,n\leqslant7,\\2n - 15,n\geqslant8.\end{cases}$
当$n\leqslant7$时，$T_{n}=S_{n}=13n+\frac{n(n - 1)}{2}\times(-2)=14n - n^{2}$，
当$n\geqslant8$时，$T_{n}=-S_{n}+2S_{7}=-(14n - n^{2})+2(14\times7 - 7^{2})=98 - 14n + n^{2}$.
综上，$T_{n}=\begin{cases}14n - n^{2},n\leqslant7,\\98 - 14n + n^{2},n\geqslant8.\end{cases}$