《2025年高考帮数学》

3.投影与投影向量
如图，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作向量$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1,B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\boldsymbol{a}$向向量$\boldsymbol{b}$⑦____，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的⑧______.
设与$\boldsymbol{b}$方向相同的单位向量为$\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\overrightarrow{A_1B_1}=|\boldsymbol{a}|\cos\theta\boldsymbol{e}$.

答案： ⑦投影 ⑧投影向量

5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1),\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$.
| |几何表示|坐标表示|
|----|----|----|
|数量积|$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$.|$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} =$⑨______.|
|模|$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$.|$|\boldsymbol{a}| =$⑩______.|
|夹角|$\cos\theta =$⑪______.| $\cos\theta =\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\cdot\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}$|
|$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$的充要条件|$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$.|⑫______|
|$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$的充要条件|$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}(\lambda\in\mathbf{R})$.|⑬______|
|$|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|$与$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$的关系|$|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$（当且仅当$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$时等号成立）.| $|x_1x_2 + y_1y_2|\leq\sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})(x_2^{2}+y_2^{2})}$|

答案： ⑨$x_1x_2 + y_1y_2$ ⑩$\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}$ ⑪$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$ ⑫$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ ⑬$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

1. 以下说法正确的是 （ ）
A. 两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量
B. 由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$可得$\boldsymbol{a}=0$或$\boldsymbol{b}=0$
C. $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})$
D. 已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}＞0$，则$\theta$为锐角

答案： 1.A

2. [教材改编]已知向量$\boldsymbol{a}=(1 + x,x - 3),\boldsymbol{b}=(1 - x,2),\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-4$，则$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 （ ）
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{3\pi}{4}$

答案： 2.B因为$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = - 4$，所以$(1 + x)(1 - x)+2(x - 3)= - 4$，得$x = 1$.所以$\boldsymbol{a}=(2,-2)$，$\boldsymbol{b}=(0,2)$，所以$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(2,2)$，$|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}||\boldsymbol{b}|}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.又$\langle\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle\in[0,\pi]$，所以$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{\pi}{4}$.故选B.

3. [2022全国卷甲]已知向量$\boldsymbol{a}=(m,3),\boldsymbol{b}=(1,m + 1)$. 若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$m =$______.

答案： 3.$-\frac{3}{4}$ $\because\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，$\therefore\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=m + 3(m + 1)=4m + 3 = 0$，解得$m = -\frac{3}{4}$.

4. 已知点$A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)$，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影向量为______.

答案： 4.$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ 依题意，得$\overrightarrow{CD}=(5,5)$，则与$\overrightarrow{CD}$同向的单位向量$\boldsymbol{e}=\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$\overrightarrow{AB}=(2,1)$，则$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$方向上的投影向量为$\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}\cdot\boldsymbol{e}=\frac{10 + 5}{5\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.

5. [易错题]已知平面内三个向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$两两夹角相等，且$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1,|\boldsymbol{c}| = 3$，则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| =$______.

答案： 5.2或5 当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$共线时，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}| = 5$；当$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$两两夹角为$\frac{2\pi}{3}$时，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-\frac{3}{2}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}}=\sqrt{1 + 1+9 - 1 - 3 - 3}=2$.