《2025年高考帮数学》

3.函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0)$的物理意义

注意 要求一个函数的初相，应先将函数解析式化成$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$的形式(其中$A ＞ 0,\omega ＞ 0$).

答案： ⑩$T=\frac{2\pi}{\omega}$ ⑪$\omega x+\varphi$

1.要得到$f(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x$的图象，只需要将$g(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的图象 ( )
A.向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
B.向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
C.向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度
D.向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度

答案： $f(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos2x$，$g(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})=\cos[2(x+\frac{\pi}{6})]$，故只需将$g(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度即可.

2.函数$y = 2\sin(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.$y = 2\sin(2x-\frac{\pi}{4})$
B.$y = 2\sin(2x+\frac{\pi}{4})$
C.$y = 2\sin(x+\frac{3\pi}{8})$
D.$y = 2\sin(\frac{x}{2}+\frac{7\pi}{16})$

答案： 设函数的最小正周期为$T$，由图象可知，$\frac{T}{2}=\frac{5\pi}{8}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}$，$\therefore T = \pi$. 由$T=\frac{2\pi}{\omega}$，得$\omega = 2$，$\therefore y = 2\sin(2x+\varphi)$.$\because$点$(\frac{\pi}{8},2)$在函数图象上，$\therefore 2 = 2\sin(2\times\frac{\pi}{8}+\varphi)$，$\therefore \varphi = 2k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$，又$|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}$，$\therefore \varphi = \frac{\pi}{4}$，故解析式为$y = 2\sin(2x+\frac{\pi}{4})$.

3.[2024江苏淮安模拟]某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间$t$(单位：s)与位移$y$(单位：cm)之间满足函数关系：$y=\sin t+\cos(t-\frac{\pi}{6})$，则这个简谐运动的振幅是 ( )
A.1 cm
B.2 cm
C.$\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm

答案： 因为$y=\sin t+\cos(t - \frac{\pi}{6})=\sin t+\cos t\cos\frac{\pi}{6}+\sin t\sin\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}\sin t+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t=\sqrt{3}\sin(t+\frac{\pi}{6})$，所以这个简谐运动的振幅是$\sqrt{3}\text{cm}$. 故选C.