《2025年高考帮数学》

例1　(1)[2023四川凉山州二模]已知直线$l_1$：$mx - y + 1 = 0$，直线$l_2$：$4x - my + 2 = 0$，若$l_1// l_2$，则$m =$________.
(2)经过点$A(2,1)$且与直线$2x + y - 10 = 0$垂直的直线方程为________________.

答案：
(1) -2 因为$l_1// l_2$，所以$\begin{cases}-m^2=-4,\\2m\neq4,\end{cases}$(注意排除直线重合情况)
解得$m = -2$.
(2)$x - 2y = 0$ 因为所求直线与直线$2x + y - 10 = 0$垂直，所以设该直线方程为$x - 2y + c = 0$，又直线过点$A(2,1)$，所以有$2 - 2\times1 + c = 0$，解得$c = 0$，故所求直线方程为$x - 2y = 0$.

训练1　(1)[2023南昌市模拟]直线$l_1$：$ax + (a + 1)y - 1 = 0$，$l_2$：$(a + 1)x - 2y + 3 = 0$，则“$a = 2$”是“$l_1\perp l_2$”的　　　　　　　　　(　　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件
(2)过点$A(1,-4)$且与直线$2x + 3y + 5 = 0$平行的直线方程为________________.

答案：
(1)A 若$l_1\perp l_2$，则$a(a + 1)+(a + 1)\times(-2)=0$，解得$a = -1$或$a = 2$，所以“$a = 2$”是“$l_1\perp l_2$”的充分不必要条件，故选A.
(2)$2x + 3y + 10 = 0$ 设所求直线方程为$2x + 3y + c = 0(c\neq5)$，由题意知，$2\times1 + 3\times(-4)+c = 0$，解得$c = 10$，故所求直线方程为$2x + 3y + 10 = 0$.

例2　(1)[全国卷III]点$(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$距离的最大值为　　　　　　　(　　　)
A.1　　　　B.$\sqrt{2}$　　　C.$\sqrt{3}$　　　D.2
(2)[2023合肥市期末]若直线$y = x$与直线$y = \frac{1}{k}x - 5$的交点在直线$y = kx + 3$上，则$k$的值为________.

答案：
(1)B 解法一 由点到直线的距离公式知点$(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$的距离$d=\frac{|k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}=\sqrt{\frac{k^2 + 2k + 1}{k^2 + 1}}=\sqrt{1+\frac{2k}{k^2 + 1}}$.
当$k = 0$时，$d = 1$；当$k\neq0$时，$d=\sqrt{1+\frac{2k}{k^2 + 1}}=\sqrt{1+\frac{2}{k+\frac{1}{k}}}$，要使$d$最大，需$k＞0$且$k+\frac{1}{k}$最小，由基本不等式知，$k+\frac{1}{k}\geq2$，当且仅当$k = 1$时，等号成立，所以当$k = 1$时，$d_{max}=\sqrt{2}$，故选B.
解法二 记点$A(0,-1)$，直线$y = k(x + 1)$恒过点$B(-1,0)$，当$AB$垂直于直线$y = k(x + 1)$时，点$A(0,-1)$到直线$y = k(x + 1)$的距离最大，且最大值为$|AB|=\sqrt{2}$，故选B.
(2)$\frac{3}{5}$ 由题易得$k\neq1$，由$\begin{cases}y=\frac{1}{k}x - 5,\\y = x,\end{cases}$得$x = y=\frac{5k}{1 - k}$，将$(\frac{5k}{1 - k},\frac{5k}{1 - k})$代入$y = kx + 3$，得$\frac{5k}{1 - k}=\frac{5k^2}{1 - k}+3$，得$k=\frac{3}{5}$.

训练2　(1)直线$l$过点$P(1,2)$，且点$A(2,3)$，$B(4,-5)$到$l$的距离相等，则直线$l$的方程是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$4x + y - 6 = 0$
B.$x + 4y - 6 = 0$
C.$3x + 2y - 7 = 0$或$4x + y - 6 = 0$
D.$3x + 2y - 7 = 0$或$x + 4y - 6 = 0$
(2)函数$f(x)=\sqrt{x^2 - 2x + 2}+\sqrt{x^2 + 2x + 2}$的最小值为________.

答案：
(1)C 显然直线$l$的斜率存在，故设直线$l:y - 2 = k(x - 1)$，即$kx - y - k + 2 = 0$，则$\frac{|2k - 3 - k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}}=\frac{|4k + 5 - k + 2|}{\sqrt{k^2 + 1}}\Rightarrow k - 1 = 3k + 7$或$k - 1 + 3k + 7 = 0\Rightarrow k = -4$或$k = -\frac{3}{2}$，所以$l$的方程为$y - 2 = -4(x - 1)$，即$4x + y - 6 = 0$或$y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 1)$，即$3x + 2y - 7 = 0$. 故选C.
(2)$2\sqrt{2}$ $f(x)=\sqrt{x^2 - 2x + 2}+\sqrt{x^2 + 2x + 2}=\sqrt{(x - 1)^2 + 1}+\sqrt{(x + 1)^2 + 1}$，所以函数$f(x)$的几何意义为点$P(x,0)$与点$A(1,1)$，点$B(-1,1)$的距离之和，易知点$P$为$x$轴上一动点，且当点$P$在原点时，$|PA|+|PB|$取得最小值$2\sqrt{2}$.

例3　已知直线$l$：$2x - 3y + 1 = 0$，点$A(-1,-2)$.求:
(1)点$A$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标;
(2)直线$m$：$3x - 2y - 6 = 0$关于直线$l$的对称直线$m'$的方程;
(3)直线$l$关于点$A$对称的直线$l'$的方程.

答案：
(1)设$A'(x,y)$，则$\begin{cases}\frac{y + 2}{x + 1}\times\frac{2}{3}=-1,\\2\times\frac{x - 1}{2}-3\times\frac{y - 2}{2}+1 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -\frac{33}{13},\\y=\frac{4}{13},\end{cases}$即$A'(-\frac{33}{13},\frac{4}{13})$.
(2)在直线$m$上任取一点，如$M(2,0)$，则$M(2,0)$关于直线$l$的对称点必在$m'$上.
设$M$关于直线$l$的对称点为$M'(a,b)$，
则$\begin{cases}2\times\frac{a + 2}{2}-3\times\frac{b + 0}{2}+1 = 0,\\\frac{b - 0}{a - 2}\times\frac{2}{3}=-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{6}{13},\\b=\frac{30}{13},\end{cases}$即$M'(\frac{6}{13},\frac{30}{13})$. 设$m$与$l$的交点为$N$，则由$\begin{cases}2x - 3y + 1 = 0,\\3x - 2y - 6 = 0\end{cases}$得$N(4,3)$.
又$m'$经过点$N(4,3)$，
所以由两点式得直线$m'$的方程为$9x - 46y + 102 = 0$.
(3)解法一 在$l:2x - 3y + 1 = 0$上任取两点，如$P(1,1)$，$N(4,3)$，则$P$，$N$关于点$A$的对称点$P'$，$N'$均在直线$l'$上.
易知$P'(-3,-5)$，$N'(-6,-7)$，由两点式可得$l'$的方程为$2x - 3y - 9 = 0$.
解法二 设$Q(x,y)$为$l'$上任意一点，
则$Q(x,y)$关于点$A(-1,-2)$的对称点为$Q'(-2 - x,-4 - y)$，
因为点$Q'$在直线$l$上，所以$2(-2 - x)-3(-4 - y)+1 = 0$，即$2x - 3y - 9 = 0$.