《2025年高考帮数学》

训练3
（1）[2023湖南常德一模改编]若函数$f(x)=\begin{cases}8 - 2^{x}(x\leq2)\\3+\log_{a}x(x ＞ 2)\end{cases}$的值域是[4，+∞)，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. (1，+∞)
B. (2，+∞)
C. (1，2]
D. ($\sqrt[5]{2}$，2]
（2）[2024重庆市渝北中学模拟]已知$f(x)=2+\log_{3}x$，$x\in[1,81]$，则$y = [f(x)]^{2}+f(x^{2})$的最大值为________.

答案： 训练3
(1)D　当$x\leqslant2$时，$0 ＜ 2^{x}\leqslant4$，$4\leqslant8 - 2^{x}＜8$，所以$f(x)\in[4,8)$.当$x＞2$时，分以下两种情况讨论.若$0 ＜ a ＜ 1$，则函数$y = 3+\log_{a}x$单调递减，所以$3+\log_{a}x\in(-\infty,3+\log_{a}2)$，与$f(x)$的值域是$[4,+\infty)$矛盾.若$a＞1$，则函数$y = 3+\log_{a}x$单调递增，所以$3+\log_{a}x\in(3+\log_{a}2,+\infty)$，要使$f(x)$的值域是$[4,+\infty)$，则有$4\leqslant3+\log_{a}2 ＜ 8$，解得$\sqrt[5]{2} ＜ a\leqslant2$.故选D.
(2)22　由$f(x)=2+\log_{3}x$，得$y = [f(x)]^{2}+f(x^{2})=(2+\log_{3}x)^{2}+2+\log_{3}x^{2}=(2+\log_{3}x)^{2}+2 + 2\log_{3}x=(\log_{3}x + 3)^{2}-3$. $\because$函数$f(x)$的定义域为$[1,81]$，$\therefore\begin{cases}1\leqslant x^{2}\leqslant81\\1\leqslant x\leqslant81\end{cases}$，$\therefore 1\leqslant x\leqslant9$，$\therefore 0\leqslant\log_{3}x\leqslant2$，$\therefore$当$\log_{3}x = 2$，即$x = 9$时，$y_{\max}=22$. $\therefore$函数$y = [f(x)]^{2}+f(x^{2})$的最大值为22.

1.函数的奇偶性

答案： ①$f( -x)=-f(x)$ ②原点 ③0 ④0 ⑤相同 ⑥$f( -x)=f(x)$ ⑦y 轴 ⑧相反