《2025年高考帮数学》

训练1　[2021新高考卷II]已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$的右焦点为$F(\sqrt{2},0)$，且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(1)求$C$的方程.
(2)设$M$，$N$是$C$上的两点，直线$MN$与曲线$x^{2}+y^{2}=b^{2}(x ＞ 0)$相切.证明：$M$，$N$，$F$三点共线的充要条件是$|MN|=\sqrt{3}$.

答案：
(1)由题意，得c = $\sqrt{2}$，又e = $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以a = $\sqrt{3}$，
所以b = $\sqrt{a^{2}-c^{2}} = 1$，所以C的方程为$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$.
(2)由
(1)知$x^{2}+y^{2}=1(x＞0)$.
证必要性：若M，N，F三点共线，则|MN| = $\sqrt{3}$.
由题意知直线MN的斜率存在且不为0，
由对称性不妨设直线MN的方程为y = k(x - $\sqrt{2}$)(k ＜ 0)，则$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，得k = - 1.
所以直线MN的方程为x + y - $\sqrt{2}=0$.
由$\begin{cases}x + y - \sqrt{2}=0 \\ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{cases}$，消去y，得$4x^{2}-6\sqrt{2}x + 3 = 0$，$\Delta＞0$.
设M($x_{1}$，$y_{1}$)，N($x_{2}$，$y_{2}$)，则$x_{1}+x_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_{1}x_{2}=\frac{3}{4}$，
所以|MN| = $\sqrt{1+(-1)^{2}}\cdot|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{\frac{9}{2}-4\times\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$.
由对称性可知当k ＞ 0时，|MN| = $\sqrt{3}$.故必要性得证.
证充分性：若|MN| = $\sqrt{3}$，则M，N，F三点共线.
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，
由对称性不妨设直线MN的方程为y = kx + m(k ＜ 0，m ＞ 0)，则$\frac{|m|}{\sqrt{k^{2}+1}} = 1$，得m = $\sqrt{1 + k^{2}}$.
由$\begin{cases}y = kx + m \\ \frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{cases}$，消去y，得($3k^{2}+1$)$x^{2}+6kmx + 3m^{2}-3 = 0$，
得($3k^{2}+1$)$x^{2}+6k\sqrt{1 + k^{2}}x + 3k^{2}=0$，$\Delta＞0$.
设M($x_{1}$，$y_{1}$)，N($x_{2}$，$y_{2}$)，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{6k\sqrt{1 + k^{2}}}{3k^{2}+1}$，$x_{1}x_{2}=\frac{3k^{2}}{3k^{2}+1}$，
所以|MN| = $\sqrt{1 + k^{2}}\cdot|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(-\frac{6k\sqrt{1 + k^{2}}}{3k^{2}+1})^{2}-4\cdot\frac{3k^{2}}{3k^{2}+1}}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\frac{-2\sqrt{6}k}{3k^{2}+1}=\sqrt{3}$，整理得$k^{4}-2k^{2}+1 = 0$，得k = - 1，
所以m = $\sqrt{2}$，所以直线MN的方程为y = - x + $\sqrt{2}$.
令y = 0，得x = $\sqrt{2}$，即直线MN过点F，所以M，N，F三点共线.
由对称性知当k ＞ 0时，M，N，F三点共线，充分性得证.
综上，M，N，F三点共线的充要条件为|MN| = $\sqrt{3}$.

例2　[2023河南省新乡市模拟]已知点$A(2,1)$在双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a ＞ 1)$上.
(1)求$C$的方程.
(2)是否存在过点$P(1,-\frac{1}{2})$的直线$l$与$C$相交于$A$，$B$两点，且满足$P$是线段$AB$的中点？若存在，求出$l$的方程；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)已知点A(2，1)在C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a ＞ 1)$上，
所以$\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}-1}=1$，整理得$a^{4}-4a^{2}+4 = 0$，解得$a^{2}=2$，则a = $\sqrt{2}$，
所以C的方程为$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$.
(2)由题可知若直线存在，则直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y = k(x - 1)-$\frac{1}{2}$，且设交点A($x_{1}$，$y_{1}$)，B($x_{2}$，$y_{2}$)，
则$\begin{cases}\frac{x_{1}^{2}}{2}-y_{1}^{2}=1 \\ \frac{x_{2}^{2}}{2}-y_{2}^{2}=1\end{cases}$，
两式相减得：($x_{1}-x_{2}$)($x_{1}+x_{2}$) = 2($y_{1}-y_{2}$)($y_{1}+y_{2}$)，由于P(1，-$\frac{1}{2}$)为AB中点，则$x_{1}+x_{2}=2$，$y_{1}+y_{2}=-1$，则k = $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-1$，
则直线l的方程为y = -(x - 1)-$\frac{1}{2}$，即y = - x+$\frac{1}{2}$，
由$\begin{cases}y = - x+\frac{1}{2} \\ \frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1\end{cases}$得$2x^{2}-4x + 5 = 0$，
$\Delta=(-4)^{2}-4\times2\times5=-24 ＜ 0$，方程无实根.
故不存在过点P(1，-$\frac{1}{2}$)的直线l与该双曲线相交于A，B两点，且满足P是线段AB的中点.