《2025年高考帮数学》

例4 水车(如图1),又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,有1 700余年历史. 如图2是一个水车的示意图,它的直径为3 m,其中心(即圆心)$O$距水面0.75 m. 如果水车每4 min逆时针转3圈,在水车轮边缘上取一点$P$,我们知道在水车匀速转动时,$P$点距水面的高度$h$(单位:m)是一个变量,它是时间$t$(单位:s)的函数. 为了方便,不妨从$P$点位于水车与水面交点$Q$时开始计时$(t = 0)$,则我们可以建立函数关系式$h(t) = A\sin(\omega t + \varphi) + k$(其中$A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$来反映$h$随$t$变化的规律. 下面关于函数$h(t)$的描述,正确的是 （ ）

A. 最小正周期为80$\pi$
B. 一个单调递减区间为$[30,70]$
C. $y = |h(t)|$的最小正周期为40
D. 图象的一条对称轴方程为$t = -\frac{40}{3}$

答案： D　由题意可得,$A = \frac{3}{2}$,$k = \frac{3}{4}$,$T = 4\div 3\times 60 = 80$（$T$为$h(t)$的最小正周期）,所以$\omega = \frac{\pi}{40}$,由$h(0) = 0$及$|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}$可得，$\varphi = -\frac{\pi}{6}$,所以$h(t) = \frac{3}{2}\sin(\frac{\pi}{40}t - \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{4}$.因为$T = 80$,所以A 错误;令$2k\pi + \frac{\pi}{2}\leqslant\frac{\pi}{40}t - \frac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi + \frac{3\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,解得$80k + \frac{80}{3}\leqslant t\leqslant 80k + \frac{200}{3}(k \in \mathbf{Z})$,取$k = 0$,得$[\frac{80}{3},\frac{200}{3}]$为其中一个减区间，因为$[30,70]$不是$[\frac{80}{3},\frac{200}{3}]$的子区间，所以B错误;函数$y = |h(t)| = |\frac{3}{2}\sin(\frac{\pi}{40}t - \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{4}|$的图象是把$y = h(t)$的图象在$t$轴下方的部分翻折到$t$轴的上方，最小正周期仍为80,所以C错误;令$\frac{\pi}{40}t - \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,得$t = 40k + \frac{80}{3}(k \in \mathbf{Z})$,取$k = - 1$得$t = -\frac{40}{3}$,即函数图象的一条对称轴方程为$t = -\frac{40}{3}$,所以D正确.故选D.

训练4 [2023江西赣州五校联考]在西双版纳热带植物园中有一种原产于美洲热带雨林的时钟花,其花开花谢非常有规律. 研究表明,时钟花开花规律与温度密切相关,时钟花开花所需要的温度约为20 $\degreeCelsius$,但当气温上升到31 $\degreeCelsius$时,时钟花基本都会凋谢. 已知某景区有时钟花观花区,且观花区每天6时~14时的气温$T$(单位:$\degreeCelsius$)与时间$t$(单位:时,6时对应$t = 6$)近似满足函数关系式$T = 25 + 10\sin(\frac{\pi}{8}t + \frac{3\pi}{4})$,则每天在6时~14时期间,观花的最佳时段约为(参考数据:$\sin\frac{\pi}{5}\approx0.6$. 假设在花期内,时钟花每天开闭一次) （ ）
A. 6.7时~11.6时
B. 6.7时~12.2时
C. 8.7时~11.6时
D. 8.7时~12.2时

答案： C　当$t \in [6,14]$时,$\frac{\pi}{8}t + \frac{3\pi}{4} \in [\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]$,则$T = 25 + 10\sin(\frac{\pi}{8}t + \frac{3\pi}{4})$在$[6,14]$上单调递增,设花开、花谢的时间分别为$t_1,t_2(t_1,t_2 \in [6,14])$.令$T = 20$,则$\sin(\frac{\pi}{8}t_1 + \frac{3\pi}{4}) = - 0.5$,即$\frac{\pi}{8}t_1 + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{6}$,解得$t_1 = \frac{26}{3} \approx 8.7$.令$T = 31$,则$\sin(\frac{\pi}{8}t_2 + \frac{3\pi}{4}) = 0.6\approx\sin\frac{\pi}{5} = \sin\frac{11\pi}{5}$,即$\frac{\pi}{8}t_2 + \frac{3\pi}{4} \approx \frac{11\pi}{5}$,解得$t_2 \approx 11.6$.故每天在6时~14时期间，观花的最佳时段约为8.7时~11.6时.

例1 将函数$y = 4\sin(\omega x+\frac{\pi}{2})(\omega＞0)$的图象分别向左、向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 4
D. 6

答案： 例1 A 将函数$y = 4\sin(\omega x+\frac{\pi}{2})(\omega＞0)$的图象分别向左、向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，得到$y_1 = 4\sin[\omega(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]$，$y_2 = 4\sin[\omega(x - \frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]$的图象. 由两个图象的对称轴重合，可得$[\omega(x+\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]-[\omega(x - \frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{2}]=\frac{\omega}{3}\pi = k\pi(k\in\mathbf{Z})$，所以$\omega = 3k(k\in\mathbf{Z})$. 又$\omega＞0$，所以$\omega$的最小值为3.

训练1 [2023 四川省名校联考]已知函数$f(x)=\sin\omega x+\cos\omega x(\omega＞0)$，若$\exists x_0\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$，使得$f(x)$的图象在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与x轴平行，则ω的最小值是（ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 2

答案： 训练1 A $f(x)=\sqrt{2}\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$.$f(x)$的图象在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$上存在与$x$轴平行的切线，即$f(x)$的图象在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$上存在对称轴，所以$-\frac{\pi}{4}\omega+\frac{\pi}{4}\leqslant-\frac{\pi}{2}$或$\frac{\pi}{3}\omega+\frac{\pi}{4}\geqslant\frac{\pi}{2}$，解得$\omega\geqslant3$或$\omega\geqslant\frac{3}{4}$，所以$\omega$的最小值为$\frac{3}{4}$，故选A.

例2 [全国卷Ⅰ]已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0,|\varphi|\leq\frac{\pi}{2})$，$x = -\frac{\pi}{4}$为$f(x)$的零点，$x = \frac{\pi}{4}$为$y = f(x)$图象的对称轴，且$f(x)$在$(\frac{\pi}{18},\frac{5\pi}{36})$上单调，则ω的最大值为（ ）
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5

答案： 例2 B 依题意，有$\begin{cases}\omega\cdot(-\frac{\pi}{4})+\varphi = m\pi,\\\omega\cdot\frac{\pi}{4}+\varphi = n\pi+\frac{\pi}{2}\end{cases}(m,n\in\mathbf{Z})$，解得$\begin{cases}\omega = 2(n - m)+1,\\\varphi=\frac{2(m + n)+1}{4}\pi\end{cases}$. 又$|\varphi|\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$m + n = 0$或$m + n=-1$.
由$f(x)$在$(\frac{\pi}{18},\frac{5\pi}{36})$上单调，得$\frac{\pi}{\omega}\geqslant\frac{5\pi}{36}-\frac{\pi}{18}$，所以$0＜\omega\leqslant12$.
当$m + n = 0$时，$\omega = 4n + 1$，$\varphi=\frac{\pi}{4}$，
取$n = 2$，得$\omega = 9$，$f(x)=\sin(9x+\frac{\pi}{4})$，此时，当$x\in(\frac{\pi}{18},\frac{5\pi}{36})$时，$9x+\frac{\pi}{4}\in(\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{2})$，$f(x)$单调，符合题意.
当$m + n=-1$时，$\varphi=-\frac{\pi}{4}$，$\omega = 4n + 3$，
取$n = 2$，得$\omega = 11$，$f(x)=\sin(11x-\frac{\pi}{4})$，此时，当$x\in(\frac{\pi}{18},\frac{5\pi}{36})$时，$11x-\frac{\pi}{4}\in(\frac{13\pi}{36},\frac{23\pi}{18})$，$f(x)$不单调，不合题意.
故$\omega$的最大值为9.