《2025年高考帮数学》

训练[12分]已知函数∮(x)=x²−a(lnx−a).
(1)讨论∮(x)的单调性;
(2)证明:当a＞0时,f(x)≥a²+2a−aln$\frac{a}{2}$−e².

答案： 大题规范1　函数与导数
训练
(1)易知函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，(讨论函数的单调性或求函数的单调区间时要有定义域优先的意识)
$f'(x)=2x−\frac{a}{x}=\frac{2x²−a}{x}$　　　　　　　　　　　　　　(1分)
当$a\leq0$时，$f'(x)＞0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增.　(2分)
当$a＞0$时，若$x\in(0,\sqrt{\frac{a}{2}})$，则$f'(x)＜0$，若$x\in(\sqrt{\frac{a}{2}},+\infty)$，则$f'(x)＞0$，
所以$f(x)$在$(0,\sqrt{\frac{a}{2}})$上单调递减，在$(\sqrt{\frac{a}{2}},+\infty)$上单调递增
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
综上，当$a\leq0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；当$a＞0$时，$f(x)$
在$(0,\sqrt{\frac{a}{2}})$上单调递减，在$(\sqrt{\frac{a}{2}},+\infty)$上单调递增.(分类讨论后要记得总结结论，否则容易失分)　　　　　　　　(5分)
(2)由
(1)可知，当$a＞0$时，$f(x)_{\min}=f(\sqrt{\frac{a}{2}})=\frac{a}{2}+a²−\frac{a}{2}\ln\frac{a}{2}$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
要证$f(x)≥a²+2a−a\ln\frac{a}{2}−e²$，
只需证$f(x)_{\min}≥a²+2a−a\ln\frac{a}{2}−e²$，
即证$\frac{a}{2}\ln\frac{a}{2}−\frac{3a}{2}+e²≥0$.　　　　　　　　　　　　　　(7分)
令$t=\frac{a}{2}$，则$t＞0$，要证$\frac{a}{2}\ln\frac{a}{2}−\frac{3a}{2}+e²≥0$，即证$t\ln t−3t+e²≥0$.(通过换元简化不等式的形式，换元后要注意新元的范围)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
令$g(t)=t\ln t−3t+e²$，则$g'(t)=\ln t−2$，
当$t\in(0,e²)$时，$g'(t)＜0$，当$t\in(e²,+\infty)$时，$g'(t)＞0$，
所以$g(t)$在$(0,e²)$上单调递减，在$(e²,+\infty)$上单调递增，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
所以$g(t)≥g(e²)=2e²−3e²+e²=0$，　　　　　　　　(11分)
故当$a＞0$时，$f(x)≥a²+2a−a\ln\frac{a}{2}−e²$.　　　　　　　(12分)