《2025年高考帮数学》

3. [多选]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则符合下列条件的△ABC有且只有一个的是 （ ）
A. $a=\sqrt{2},b = 1,A = 45^{\circ}$
B. $a = 1,b = 2,c = 3$
C. $b = c = 1,B = 45^{\circ}$
D. $a = 1,b = 2,A = 100^{\circ}$

答案： 3.AC 对于A,由正弦定理得$\frac{1}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}}{\sin45^{\circ}}$,所以$\sin B=\frac{1}{2}$,又$a＞b$,所以$B = 30^{\circ}$,所以满足条件的三角形只有一个;对于B,$a + b = c$,构不成三角形;对于C,$b = c = 1$,所以$B = C = 45^{\circ},A = 90^{\circ}$,所以满足条件的三角形只有一个;对于D,$a ＜ b$,所以$A ＜ B$,而$A = 100^{\circ}$,所以没有满足条件的三角形.

4. 已知$2a + 1,a,2a - 1$是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围是________.

答案： 4.$(2,8)$ $\because 2a + 1,a,2a - 1$是三角形的三边,$\therefore \begin{cases}2a + 1＞0, \\a＞0, \\2a - 1＞0, \end{cases}$解得$a＞\frac{1}{2}$.显然$2a + 1$是三角形的最大边,则要使$2a + 1,a,2a - 1$构成三角形,需满足$a + 2a - 1＞2a + 1$,解得$a＞2$.设最大边对应的角为$\theta$(钝角),则$\cos\theta=\frac{a^{2}+(2a - 1)^{2}-(2a + 1)^{2}}{2a(2a - 1)}＜0$,$\therefore a^{2}+(2a - 1)^{2}-(2a + 1)^{2}＜0$,即$a^{2}-8a＜0$,解得$0 ＜ a ＜ 8$.又$a＞2$,$\therefore a$的取值范围是$(2,8)$.

5. 在△ABC中，$A = 60^{\circ},AC = 4,BC = 2\sqrt{3}$，则△ABC的面积等于________.

答案： 5.$2\sqrt{3}$ 设$\triangle ABC$中,角$A,B,C$对应的边分别为$a,b,c$.由题意及余弦定理得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{16 + c^{2}-12}{2\times4\times c}=\frac{1}{2}$,解得$c = 2$,所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times4\times2\times \sin60^{\circ}=2\sqrt{3}$.

例1 (1)[2023全国卷乙]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B - bcos A = c，且C = $\frac{\pi}{5}$，则B = （ ）
A. $\frac{\pi}{10}$ B. $\frac{\pi}{5}$ C. $\frac{3\pi}{10}$ D. $\frac{2\pi}{5}$
(2)[2021全国卷乙]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为$\sqrt{3}$，B = 60°，$a^{2}+c^{2}=3ac$，则b = ________.

答案：
(1)C　因为$a\cos B - b\cos A = c$，所以由正弦定理得$\sin A\cdot\cos B - \sin B\cos A = \sin C = \sin (B + A)$，则$2\sin B\cos A = 0$。在$\triangle ABC$中，$\sin B\neq0$，则$\cos A = 0$，$A = \frac{\pi}{2}$，所以$B = \pi - A - C = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}$，故选C。
(2)$2\sqrt{2}$　由题意得$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}ac = \sqrt{3}$，则$ac = 4$，所以$a^{2} + c^{2} = 3ac = 3\times4 = 12$，所以$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B = 12 - 2\times4\times\frac{1}{2} = 8$，则$b = 2\sqrt{2}$。

训练1 (1)[全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知$a\sin A - b\sin B = 4c\sin C$，$\cos A = -\frac{1}{4}$，则$\frac{b}{c}$ = （ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： A　由题意及正弦定理得$b^{2} - a^{2} = - 4c^{2}$，所以由余弦定理得，$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \frac{- 3c^{2}}{2bc} = - \frac{1}{4}$，得$\frac{b}{c} = 6$。故选A。

(2)[全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知$\sin B + \sin A\cdot(\sin C - \cos C)=0$，$a = 2$，$c = \sqrt{2}$，则C = （ ）
A. $\frac{\pi}{12}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{3}$

答案： B　因为$\sin B + \sin A(\sin C - \cos C) = 0$，所以$\sin (A + C) + \sin A\cdot\sin C - \sin A\cdot\cos C = 0$，所以$\sin A\cos C + \cos A\sin C + \sin A\sin C - \sin A\cos C = 0$，整理得$\sin C(\sin A + \cos A) = 0$。因为$\sin C\neq0$，所以$\sin A + \cos A = 0$，所以$\tan A = - 1$。因为$A\in(0,\pi)$，所以$A = \frac{3\pi}{4}$，由正弦定理得$\sin C = \frac{c\cdot\sin A}{a} = \frac{\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$，又$0 ＜ C ＜ \frac{\pi}{4}$，所以$C = \frac{\pi}{6}$。故选B。

例2 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，$\frac{c - a}{2c}=\sin^{2}\frac{B}{2}$，则△ABC的形状为 （ ）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
[变条件]将例2中的条件“$\frac{c - a}{2c}=\sin^{2}\frac{B}{2}$”改为“$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{c}$，$(b + c + a)(b + c - a)=3bc$”，则△ABC的形状为________.

答案： A　由$\cos B = 1 - 2\sin^{2}\frac{B}{2}$，得$\sin^{2}\frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{2}$，所以$\frac{c - a}{2c} = \frac{1 - \cos B}{2}$，即$\cos B = \frac{a}{c}$。
解法一　由余弦定理得$\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \frac{a}{c}$，即$a^{2} + c^{2} - b^{2} = 2a^{2}$，所以$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等。
解法二　由正弦定理得$\cos B = \frac{\sin A}{\sin C}$，又$\sin A = \sin (B + C) = \sin B\cos C + \cos B\sin C$，所以$\cos B\sin C = \sin B\cos C + \cos B\sin C$，即$\sin B\cos C = 0$，又$\sin B\neq0$，所以$\cos C = 0$，又角$C$为$\triangle ABC$的内角，所以$C = \frac{\pi}{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等。
[命题拓展]
等边三角形　因为$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{c}$，所以由正弦定理得$\frac{a}{b} = \frac{a}{c}$，所以$b = c$。又$(b + c + a)(b + c - a) = 3bc$，所以$b^{2} + c^{2} - a^{2} = bc$，所以由余弦定理得$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$。因为$A\in(0,\pi)$，所以$A = \frac{\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。