《2025年高考帮数学》

训练2 (1)[2024山西太原模拟]不等式$\frac{x - 2}{2x - 1}\leq -1$的解集为 ( )
A. $\{x|x\leq\frac{1}{2}或x\geq1\}$
B. $\{x|x ＜ \frac{1}{2}或x\geq1\}$
C. $\{x|\frac{1}{2}\leq x\leq1\}$
D. $\{x|\frac{1}{2} ＜ x\leq1\}$
(2)[多选/2024甘肃省张掖市模拟]已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c\geq0$的解集为$\{x|x\leq3或x\geq4\}$,则下列结论中正确的是 ( )
A. $a ＞ 0$
B. $ab ＞ 0$
C. 不等式$cx^{2} - bx + a ＜ 0$的解集为$\{x|x ＜ -\frac{1}{4}或x ＞ \frac{1}{3}\}$
D. $a + b + c ＞ 0$

答案：
(1)D由$\frac{x−2}{2x−1}$≤−1,得$\frac{x−2}{2x−1}$+1≤0,化简得$\frac{x−1}{2x−1}$≤0,得$\begin{cases}(x - 1)(2x - 1) \leq 0 \\ 2x - 1 \neq 0 \end{cases}$，解得$\frac{1}{2}$＜x≤1,所以不等式$\frac{x−2}{2x−1}$≤−1的解集为{x|$\frac{1}{2}$＜x≤1}.故选D.
(2)AD由ax²+bx+c≥0的解集为{x|x≤3或x≥4}得ax²+bx+c=a(x−3)(x−4)=a(x²−7x+12),a＞0,得b=−7a,c=12a,ab=−7a²＜0,a+b+c=6a＞0,故A正确、B错误、D正确.对于选项C,cx²−bx+a＜0可转化为12ax²+7ax+a＜0,又a＞0,可得12x²+7x+1＜0,解得−$\frac{1}{3}$＜x＜−$\frac{1}{4}$,所以不等式cx²−bx+a＜0的解集为{x|−$\frac{1}{3}$＜x＜−$\frac{1}{4}$}.故选AD.

例6 [2023甘肃省酒泉市玉门油田第一中学期中]已知不等式$x^{2} - 2x + k^{2} - 1 ＞ 0$对一切实数$x$恒成立,则实数$k$的取值范围是 ( )
A. $(\sqrt{2},+\infty)$
B. $(-\infty,-\sqrt{2})$
C. $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$
D. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

答案： C因为不等式x²−2x+k²−1＞0对一切实数x恒成立,所以对应方程的Δ = 4 - 4(k² - 1)＜0，解得k＞$\sqrt{2}$或k＜−$\sqrt{2}$.故选C.

例7 [2023石家庄质检]当$-2\leq x\leq2$时,不等式$x^{2} - mx + 1 ＞ 0$恒成立,则实数$m$的取值范围为 ( )
A. $(-2,2)$
B. $(-\infty,-2)$
C. $[-2,2]$
D. $(2,+\infty)$

答案： A设f(x)=x²−mx+1,其中−2≤x≤2.
①当$\frac{m}{2}$≤−2,即m≤−4时,函数f(x)在[−2,2]上单调递增,则f(x)min=f(−2)=2m+5＞0,解得m＞−$\frac{5}{2}$,此时m不存在;
②当−2＜$\frac{m}{2}$＜2,即−4＜m＜4时，f(x)min=f($\frac{m}{2}$)=1−$\frac{m²}{4}$＞0,解得−2＜m＜2;
③当$\frac{m}{2}$≥2,即m≥4时,函数f(x)在[−2,2]上单调递减,则f(x)min=f
(2)=−2m+5＞0,解得m＜$\frac{5}{2}$,此时m不存在.
综上所述，实数m的取值范围是(−2,2).

例8 [2023广东省深圳市模拟]对任意的实数$m\in[0,2]$,不等式$(x - 2)(x - 3 + m) ＞ 0$恒成立,则$x$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$
B. $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$
C. $(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$
D. $\mathbf{R}$

答案： A依题意,对任意的实数m∈[0,2],不等式(x−2)(x−3+m)＞0,即(x−2)m+(x−2)(x−3)＞0恒成立.令h(m)=(x−2)m+(x−2)(x−3),则$\begin{cases}h(0) = (x - 2)(x - 3)＞0 \\ h(2) = 2(x - 2) + (x - 2)(x - 3)＞0 \end{cases}$，解得x＜1或x＞3.故选A.

训练3 (1)已知$a\in[-1,1]$时,不等式$x^{2} + (a - 4)x + 4 - 2a ＞ 0$恒成立,则$x$的取值范围为 ( )
A. $(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$
B. $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$
C. $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$
D. $(1,3)$
(2)[2024江苏省扬州市模拟]设函数$f(x) = mx^{2} - mx - 1$,若对于任意的$x\in\{x|1\leq x\leq2\}$, $f(x) ＜ -m + 4$恒成立,则 ( )
A. $m\leq0$
B. $0\leq m ＜ \frac{5}{3}$
C. $m ＜ \frac{5}{3}$
D. $0 ＜ m ＜ \frac{5}{3}$
(3)[2024湖南省长沙市模拟]已知关于$x$的不等式$kx^{2} - 3kx + k + 5 ＞ 0$对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立,则$k$的取值范围为________.

答案：
(1)C把不等式的左边看成关于a的一次函数，记f(a)=(x−2)a+x²−4x+4,则由f(a)＞0对于任意的a∈[−1,1]恒成立,得f(−1)=x²−5x+6＞0,且f
(1)=x²−3x+2＞0,解不等式组$\begin{cases}x² - 5x + 6＞0 \\ x² - 3x + 2＞0 \end{cases}$，得x＜1或x＞3.故选C.
(2)C
∵∀x∈[1,2]，mx²−mx−1＜−m+4恒成立,
∴m(x²−x+1)＜5对∀x∈[1,2]恒成立,又当x∈[1,2]时，y=x²−x+1=(x−$\frac{1}{2}$)²+$\frac{3}{4}$∈[1,3],
∴m＜($\frac{5}{x²−x+1}$)min=$\frac{5}{3}$,即m＜$\frac{5}{3}$.故选C.
(3)[0,4)当k=0时,不等式为5＞0,恒成立,符合题意;当k＞0时,若不等式kx²−3kx+k+5＞0对任意x∈R恒成立,则对应方程的Δ = 9k² - 4k(k + 5)＜0，解得0＜k＜4;当k＜0时,不等式kx²−3kx+k+5＞0不能对任意x∈R恒成立.综上,k的取值范围是[0,4).

例9 [多选/2024贵州黄平模拟]已知一元二次方程$x^{2}+mx + 3 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，且$0 ＜ x_{1}＜2＜x_{2}＜4$，则$m$的值可能为（ ）
A. -4
B. -4.5
C. -4.6
D. -5

答案： ABC 令$f(x)=x^{2}+mx + 3$，因为一元二次方程$x^{2}+mx + 3 = 0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，且$0 ＜ x_{1} ＜ 2 ＜ x_{2} ＜ 4$，所以$\begin{cases}f(0)＞0,\\f(2)＜0,\\f(4)＞0,\end{cases}$ $\begin{cases}3＞0,\\7 + 2m＜0,\\19 + 4m＞0,\end{cases}$解得$-\frac{19}{4}＜m＜-\frac{7}{2}$，故选ABC.