《2025年高考帮数学》

训练1　[2023江西省南昌市摸底测试]如图，已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的棱AB，AD，D₁C₁，C₁B₁的中点分别为E，F，G，H，则下列直线中，与平面ACD₁和平面BDC₁的交线平行的直线是 (　　　)
　　　　　　　　　　　　

答案：
C　如图，设AC∩BD = M，CD₁∩C₁D = N，则M∈平面ACD₁，M∈平面BDC₁，N∈平面ACD₁，N∈平面BDC₁，连接MN，则平面ACD₁∩平面BDC₁ = MN。
在△ACD₁中，M，N分别为AC，CD₁的中点，所以MN//AD₁。连接EG，在四边形ABC₁D₁中，易知四边形ABC₁D₁是平行四边形，又E，G分别为AB，C₁D₁的中点，所以EG//AD₁，所以MN//EG；故选C。

训练2　[2022北京高考节选]如图，在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁为正方形，平面BCC₁B₁⊥平面ABB₁A₁，AB = BC = 2，M，N分别为A₁B₁，AC的中点. 求证：MN//平面BCC₁B₁.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解法一　如图，设点P为AB的中点，连接PN，PM，因为N为AC的中点，
所以PN为△ABC的中位线，
所以PN//BC。
又M为A₁B₁的中点，所以PM//BB₁。
因为BB₁∩BC = B，PM∩PN = P，BB₁，BC⊂平面BCC₁B₁，PM，PN⊂平面MPN，所以平面BCC₁B₁//平面MPN。
又MN⊂平面MPN，
所以MN//平面BCC₁B₁。

解法二　如图，取BC的中点D，连接B₁D，DN。
在三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AB//A₁B₁，AB = A₁B₁。
因为M，N，D分别为A₁B₁，AC，BC的中点，
所以B₁M//AB，B₁M = $\frac{1}{2}$AB，DN//AB，DN = $\frac{1}{2}$AB，则B₁M//DN且B₁M = DN，
所以四边形B₁MND为平行四边形，因此B₁D//MN。又MN⊄平面BCC₁B₁，B₁D⊂平面BCC₁B₁，所以MN//平面BCC₁B₁。

例3 [全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. α内有无数条直线与β平行
B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线
D. α，β垂直于同一平面

答案： B对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确。综上可知选B。

例4　[安徽高考节选]如图，四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为梯形，AD//BC，且AD = 2BC. 过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q. 证明：Q为BB₁的中点.
　　　　　　　　　　　　

答案： 因为BQ//AA₁，BC//AD，BQ，BC⊄平面A₁AD，AA₁，AD⊂平面A₁AD，所以BQ//平面A₁AD，BC//平面A₁AD，又BC∩BQ = B，
所以平面QBC//平面A₁AD。
从而平面α与这两个平面的交线互相平行，即QC//A₁D。
故△QBC与△A₁AD的对应边互相平行，于是△QBC∽△A₁AD。
所以$\frac{BQ}{BB₁}=\frac{BQ}{AA₁}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，即Q为BB₁的中点。