《2025年高考帮数学》

例1　(1)[2023全国卷乙]正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=$　　　(　　　)
A.$\sqrt{5}$　　　B.3　　　C.$2\sqrt{5}$　　D.5
(2)[2022全国卷甲]设向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，则$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=$______.

答案： 高考帮
例1
(1)B　解法一　由题意知，$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}) = |\overrightarrow{AD}|^{2}-\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^{2}$，由题意知$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AB}| = 2$，所以$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=4 - 1 = 3$，故选B.
解法二　以点A为坐标原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则$E(1,0),C(2,2),D(0,2)$，则$\overrightarrow{EC}=(1,2),\overrightarrow{ED}=(-1,2),\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=-1 + 4 = 3$，故选B.
(2)11　$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle+|\boldsymbol{b}|^{2}=2\times1\times3\times\frac{1}{3}+3^{2}=11$.

训练1　(1)[2022全国卷乙]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| =\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$　　(　　　)
A. -2　　B. -1　　　C.1　　　D.2
(2)[全国卷Ⅱ]已知$\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(3,t)$，$|\overrightarrow{BC}| = 1$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$　　　　　　　　(　　　)
A. -3　　B. -2　　C.2　　　D.3

答案： 训练1
(1)C　由$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$，可得$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}=9$。又$|\boldsymbol{a}| = 1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，故选C.
(2)C　因为$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(1,t - 3)$，所以$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1+(t - 3)^{2}} = 1$，解得$t = 3$，所以$\overrightarrow{BC}=(1,0)$，所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times1+3\times0 = 2$，故选C.

例2　(1)[2022全国卷乙]已知向量$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,4)$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =$　　　　　(　　　)
A.2　　　B.3　　　　C.4　　　D.5
(2)[2023新高考卷Ⅱ]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| =\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，则$|\boldsymbol{b}| =$________.

答案： 例2
(1)D　由题意知$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)$，所以$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = 5$。故选D.
(2)$\sqrt{3}$　由$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，得$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=3$，即$2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-3$ ①。由$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，得$\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，整理得，$\boldsymbol{a}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，结合①，得$\boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-3$，整理得，$\boldsymbol{b}^{2}=3$，所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$。

例3　(1)[2023全国卷甲]已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}| =\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=$　　　　　　　　　　(　　　)
A.$-\frac{4}{5}$　　B.$-\frac{2}{5}$　　C.$\frac{2}{5}$　　　D.$\frac{4}{5}$
(2)[2022新高考卷Ⅱ]已知向量$\boldsymbol{a}=(3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$，若$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，则$t =$　(　　　)
A. -6　　B. -5　　C.5　　　D.6

答案：
例3
(1)D　$\because\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0,\therefore\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，等式两边同时平方得$2=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1 + 1+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},\therefore\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$。
解法一　$\because\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-(-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}-(-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b},\therefore(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}^{2}+5\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}^{2}=4$，且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}| = |2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{4 + 1}=\sqrt{5},|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}| = |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\sqrt{(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5},\therefore\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|\cdot|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|}=\frac{4}{5}$，故选D。
解法二　如图，令$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c},\therefore\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$，而$|AB|=\sqrt{2},|AC| = |BC|=\sqrt{5}$，在$\triangle ABC$中，由余弦定理得$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\rangle=\cos\angle ACB=\frac{5 + 5-2}{2\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，故选D。

解法三　如图，令向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的起点均为O，终点分别为A,B，以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则$\boldsymbol{a}=(1,0),\boldsymbol{b}=(0,1),\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-1,-1)$，所以$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=(2,1),\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(1,2)$，则$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|\cdot|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|}=\frac{2 + 2}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，故选D。
(2)C　解法一　由题意，得$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}=(3 + t,4)$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=3\times(3 + t)+4\times4=25 + 3t,\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1\times(3 + t)+0\times4=3 + t$。因为$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\cos\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，即$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|}=\frac{\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|}$，即$\frac{25 + 3t}{5}=3 + t$，解得$t = 5$。故选C。
解法二　因为$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$，且$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$，所以由向量加法的平行四边形法则得$|\boldsymbol{a}| = t|\boldsymbol{b}|$，易知$|\boldsymbol{a}| = 5,|\boldsymbol{b}| = 1$，所以$t = 5$。

例4　(1)[2023新高考卷Ⅰ]已知向量$\boldsymbol{a}=(1,1)$，$\boldsymbol{b}=(1,-1)$. 若$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，则(　　　)
A.$\lambda+\mu = 1$　　　　　B.$\lambda+\mu = -1$
C.$\lambda\mu = 1$　　　　　　D.$\lambda\mu = -1$
(2)[全国卷Ⅱ]已知单位向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为60°，则在下列向量中，与$\boldsymbol{b}$垂直的是　　(　　　)
A.$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$　B.$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$　C.$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$　D.$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

答案：
例4
(1)D　因为$\boldsymbol{a}=(1,1),\boldsymbol{b}=(1,-1)$，所以$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(1+\lambda,1-\lambda),\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=(1+\mu,1-\mu)$，因为$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，所以$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}) = 0$，所以$(1+\lambda)(1+\mu)+(1-\lambda)(1-\mu)=0$，整理得$\lambda\mu=-1$。故选D。
(2)D　解法一　由题意，得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$。对于A，$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}^{2}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\neq0$，故A不符合题意；对于B，$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=1 + 1 = 2\neq0$，故B不符合题意；对于C，$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{b}^{2}=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\neq0$，故C不符合题意；对于D，$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}^{2}=1 - 1 = 0$，所以$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$，符合题意。故选D。
解法二　根据条件，分别作出向量$\boldsymbol{b}$与A,B,C,D四个选项对应的向量的位置关系，如图所示。

由图易知，只有选项D满足题意。故选D。
解法三　不妨设$\boldsymbol{a}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),\boldsymbol{b}=(1,0)$，则$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(\frac{5}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,\sqrt{3}),\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0,\sqrt{3})$，易知，只有$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=0$，即$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$。故选D。