《2025年高考帮数学》

例2(1)[2023上海春季高考]如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$P$是$A_{1}C_{1}$上的动点，则下列直线中，始终与直线$BP$异面的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $DD_{1}$　　B. $AC$　　　C. $AD_{1}$　　　D. $B_{1}C$

(2)[2023高三名校联考(一)]设$\alpha$是空间中的一个平面，$l$，$m$，$n$是三条不同的直线，则下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 若$m\subset\alpha$，$n\subset\alpha$，$l\perp m$，$l\perp n$，则$l\perp\alpha$
B. 若$l// m$，$m// n$，$l\perp\alpha$，则$n\perp\alpha$
C. 若$l// m$，$m\perp\alpha$，$n\perp\alpha$，则$l\perp n$
D. 若$m\subset\alpha$，$n\perp\alpha$，$l\perp n$，则$l// m$

答案：
例2
(1)B　对于A,如图1,当点P为A₁C₁的中点时,连接B₁D₁,BD,则P在B₁D₁上,BP⊂平面BDD₁B₁,又DD₁⊂平面BDD₁B₁,所以BP与DD₁共面,故A错误;对于B,如图2,连接AC,易知AC⊂平面ACC₁A₁,BP⊄平面ACC₁A₁,且BP∩平面ACC₁A₁ = P,P不在AC上,所以BP与AC为异面直线,故B正确;当点P与点C₁重合时,连接AD₁,B₁C(图略),由正方体的性质,易知BP//AD₁,BP与B₁C相交,故C,D错误.故选B.
(2)B　A选项,若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l与α相交、平行或l⊂α,如图1,m//n,且满足m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,但此时l与α斜交,故A错误;B选项,因为l//m,m//n,所以l//n,因为l⊥α,所以n⊥α,故B正确;C选项,因为m⊥α,n⊥α,所以m//n,因为l//m,所以l//n,故C错误;D选项,若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l与m相交、平行或异面,如图2,满足m⊂α,n⊥α,l⊥n,但此时l与m异面，故D错误.故选B.

训练2若直线$l_{1}$和$l_{2}$是异面直线，$l_{1}$在平面$\alpha$内，$l_{2}$在平面$\beta$内，$l$是平面$\alpha$与平面$\beta$的交线，则下列命题正确的是　　　　　　　　　(　　　)
A. $l$与$l_{1}$，$l_{2}$都不相交
B. $l$与$l_{1}$，$l_{2}$都相交
C. $l$至多与$l_{1}$，$l_{2}$中的一条直线相交
D. $l$至少与$l_{1}$，$l_{2}$中的一条直线相交

答案：
训练2D解法一(反证法)　若l//l₁,l//l₂,则l₁//l₂,这与l₁,l₂是异面直线矛盾.故l至少与l₁,l₂中的一条直线相交;解法二(模型法)　如图1,l₁与l₂是异面直线,l₁与l平行,l₂与l相交,故A,B不正确;如图2,l₁与l₂是异面直线,l₁,l₂都与l相交，故C不正确.

(2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角①______.

答案： 相等或互补