《2025年高考帮数学》

例1 分别画出下列函数的图象：
(1)$y = 2^{x + 1}-1$；
(2)$y = |\lg(x - 1)|$；
(3)$y = x^{2}-|x|-2$.

答案：
高考帮
例1
(1)将$y = 2^{x}$的图象向左平移1个单位长度，得到$y = 2^{x + 1}$的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到$y = 2^{x + 1}-1$的图象，如图1所示.

(2)首先作出$y=\lg x$的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到$y = \lg(x - 1)$的图象，再把所得图象在$x$轴下方的部分翻折到$x$轴上方，即得$y = |\lg(x - 1)|$的图象，如图2所示(实线部分).

(3)$y=x^{2}-|x|-2=\begin{cases}x^{2}-x - 2,x\geqslant0,\\x^{2}+x - 2,x＜0,\end{cases}$其图象如图所示.

训练1 分别画出下列函数的图象：
(1)$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$；(2)$y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.

答案：
训练1
(1)先作出$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象，再去掉$y$轴左侧图象，并将$y$轴右侧图象翻折到$y$轴左侧，$y$轴上及右侧图象不变，即得$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，如图中实线部分所示.

(2)$y=\frac{2x + 1}{x + 1}=2-\frac{1}{x + 1}$的图象可由$y = -\frac{1}{x}$的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示.

例2 (1)[2022全国卷甲]函数$y = (3^{x}-3^{-x})\cdot\cos x$在区间$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$的图象大致为
( )

(2)[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间$[-3,3]$的大致图象，则该函数是
( )
　　　　　

A.$y = \frac{-x^{3}+3x}{x^{2}+1}$　　　　B.$y = \frac{x^{3}-x}{x^{2}+1}$

C.$y = \frac{2x\cos x}{x^{2}+1}$　　　　　D.$y = \frac{2\sin x}{x^{2}+1}$

答案： 例2
(1)A　解法一(特值法)　取$x = 1$，则$y=(3-\frac{1}{3})\cos1=\frac{8}{3}\cos1＞0$；取$x = - 1$，则$y = (\frac{1}{3}-3)\cos(-1)=-\frac{8}{3}\cos1＜0$.结合选项知选A.解法二　令$y = f(x)$，则$f(-x)=(3^{-x}-3^{x})\cos(-x)=-(3^{x}-3^{-x})\cos x=-f(x)$，所以函数$y=(3^{x}-3^{-x})\cos x$是奇函数，且当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，$3^{x}-3^{-x}＞0$，$\cos x＞0$，故$f(x)＞0$，故选A.
(2)A　对于选项B，当$x = 1$时，$y = 0$，与图象不符，故排除B；对于选项D，当$x = 3$时，$y=\frac{1}{5}\sin3＞0$，与图象不符，故排除D；对于选项C，当$x＞0$时，$y=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}=\frac{2\cos x}{x+\frac{1}{x}}$，因为$x+\frac{1}{x}\geqslant2$，当$x = 1$时取等号，所以$y\leqslant\cos x\leqslant1$，与图象在$y$轴右侧最大值大于1不符，所以排除C.故选A.