《2025年高考帮数学》

训练1　(1)[2024陕西省汉中市名校联考]已知幂函数f(x) = (m² + m - 1)xᵐ的图象与坐标轴没有公共点，则f($\sqrt{2}$) =　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{1}{2}$　　　B. $\sqrt{2}$　　　C. 2　　　　D. 2$\sqrt{2}$
(2)若(2m + 1)$^{\frac{1}{2}}$ ＞ (m² + m - 1)$^{\frac{1}{2}}$,则实数m的取值范围是________.

答案：
(1)A　因为f(x)为幂函数,所以m² + m - 1 = 1,解得m = -2或m = 1,又f(x)的图象与坐标轴无公共点,故m ＜ 0,所以m = -2,故f(x)=x⁻²,所以f(√2)=(√2)⁻² = 1/2.故选A
(2)[(√5 - 1)/2,2)　因为函数y = x^(1/2)的定义域为[0,+∞),且在定义域内单调递增，所以{2m + 1≥0,m² + m - 1≥0,2m + 1＞m² + m - 1}，解得(√5 - 1)/2≤m ＜ 2,所以实数m的取值范围为[(√5 - 1)/2,2).

例2计算:
(1)(-3$\frac{3}{8}$)$^{-\frac{2}{3}}$ + (0.002)$^{-\frac{1}{2}}$ - 10×($\sqrt{5}$ - 2)$^{-1}$ + ($\sqrt{2}$ - $\sqrt{3}$)⁰ =________
(2)若x$^{\frac{1}{2}}$ + x$^{-\frac{1}{2}}$ = 3,则$\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} - 3}{x² + x^{-2} - 2}$ =______.

答案：
(1)-167/9　原式$=(-1)^(-2/3)×(3 3/8)^(-2/3)+(1/500)^(-1/2)-10/(√5 - 2)+1=(27/8)^(-2/3)+500^(1/2)-10×(√5 + 2)+1 = 4/9+10√5 - 10√5 - 20 + 1=-167/9.$
(2)1/3　由$x^(1/2)+x^(-1/2)=3,$两边平方,得x + x⁻¹ = 7,
∴x² + x⁻² = 47,
∴x² + x⁻² - 2 = 45.由$(x^(1/2)+x^(-1/2))³ = 3³,$得$x^(3/2)+3x^(1/2)+3x^(-1/2)+x^(-3/2)=27.$
∴$x^(3/2)+x^(-3/2)=18,$
∴$x^(3/2)+x^(-3/2)-3 = 15.$
∴$(x^(3/2)+x^(-3/2)-3)/(x² + x⁻² - 2)=1/3$

训练2　(1)[2024重庆八中模拟]已知10ᵃ = 2$^{-\frac{1}{2}}$,__________.
(2)$\frac{\sqrt{a³b²\sqrt[3]{ab²}}}{(a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{2}})^4a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$ =________(a＞0,b＞0).

答案： $(1)2　10^(3β + 1/2α)=(10^β)^(3/4)×(10^α)^(1/2)=(32^(1/3))^(3/4)×(2^(-1/2))^(1/2)=2^(5×1/3×3/4+(-1/2)×1/2)=2.$
(2)a/b　原式$=((a³b²a^(1/3)b^(2/3))^(1/2))/(ab²a^(-1/3)b^(1/3))=a^(3/2 + 1/6 - 1 - 1/3)·b^(1 + 1/3 - 2 - 1/3)=a/b.$

例3　(1)已知函数y = kx + a的图象如图所示，则函数y = aˣ⁺ᵏ的图象可能是　　　　　　(　　　)

(2)[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知a∈R,若关于x的方程|3ˣ - 1| - 2a = 0有两个不相等的实根，则a的取值范围是________.

答案：

(1)B　由函数y = kx + a的图象可得k ＜ 0,0 ＜ a ＜ 1.函数y = a^(x + k)的图象可以看作是把y = aˣ的图象向右平移 - k个单位长度得到的,且函数y = a^(x + k)是减函数，故此函数的图象与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项，可知选B.
(2)(0,1/2)　关于x的方程|3ˣ - 1|-2a = 0有两个不相等的实根,即曲线y = |3ˣ - 1|与直线y = 2a的图象有两个交点,作出y = |3ˣ - 1|与y = 2a的图象，如图，易得a的取值范围是(0,1/2).

命题拓展
已知a∈R,若关于x的方程|aˣ - 1| - 2a = 0有两个不等的实根，则a的取值范围是________.

答案：
(0,1/2)　关于x的方程|aˣ - 1|-2a = 0有两个不等的实根,即曲线y = |aˣ - 1|与直线y = 2a的图象有两个交点,y = |aˣ - 1|的图象是由y = aˣ的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的.当a ＞ 1时,如图1,两图象只有一个交点，不合题意;当0 ＜ a ＜ 1时，如图2,要使两个函数图象有两个公共点，则0 ＜ 2a ＜ 1,得0 ＜ a ＜ 1/2.


综上可知，a的取值范围是(0,1/2).

训练3　[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数f(x) = aˣ⁻¹ - 2(a ＞ 0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x) = m + xⁿ的图象不经过　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 第一象限　　　　　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　　　D. 第四象限

答案： D
∵a⁰ = 1,
∴f(x)=a^(x - 1)-2的图象恒过定点(1,-1),
∴m = 1,n = -1,
∴g(x)=1 + 1/x,其图象不经过第四象限，故选D.