《2025年高考帮数学》

(2)指数函数的图象和性质
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注意当指数函数的底数a的大小不确定时，需分$a ＞ 1$和$0 ＜ a ＜ 1$两种情况进行讨论.

答案： ⑲$(0, +\infty)$ ⑳$(0,1)$ ㉑增 ㉒减

1.[2024江苏省南通市质量监测]化简:$\sqrt{(\pi - 4)^{2}}+\sqrt[3]{(\pi - 3)^{3}}=$（ ）
A.1　　　　　　　　
　B. - 1　　　　　　　
　C.7 - 2$\pi$　　　　　　
　D.2$\pi$ - 7

答案： 1.A $\sqrt{(\pi - 4)^{2}}+\sqrt[3]{(\pi - 3)^{3}}=|\pi - 4|+\pi - 3 = 4 - \pi+\pi - 3 = 1$. 故选A.

2.[多选]已知幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(16,4)$，则下列说法正确的有（ ）
A.$f(x)$是偶函数
B.$f(x)$是增函数
C.当$x ＞ 1$时，$f(x) ＞ 1$
D.当$0 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$时，$\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}＜f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$

答案： 2.BCD 因为幂函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(16,4)$，所以$16^{\alpha}=4$，$\alpha=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，由其图象可知，A错误，B正确；当$x ＞ 1$时，$f(x)＞f(1)=1$，故C正确；由$f(x)=\sqrt{x}$的图象可知$\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}＜f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$，故D正确. 故选BCD.

3.函数$f(x)=a^{x - 1}+2(a ＞ 0,且a\neq1)$的图象恒过定点______.

答案： $(1,3)$

4.已知函数$f(x)=a^{x}+b(a ＞ 0,且a\neq1)$的定义域和值域都是$[-1,0]$，则$a + b =$______.

答案： $-\frac{3}{2}$

例1　(1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数y=xⁿ在第一象限内的图象.已知n分别取±2, ±$\frac{1}{2}$四个值，与曲线C₁,C₂,C₃,C₄对应的n依次为　　　　　　(　　　)

A. 2,$\frac{1}{2}$, -$\frac{1}{2}$, -2　　　B. 2,$\frac{1}{2}$, -2, -$\frac{1}{2}$
C. -$\frac{1}{2}$, -2,2,$\frac{1}{2}$　　　D. -2, -$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,2
(2)[全国卷III]已知a = 2$^{\frac{4}{3}}$,b = 4$^{\frac{2}{5}}$,c = 25$^{\frac{1}{3}}$,则　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. b＜a＜c　　　　　　B. a＜b＜c
C. b＜c＜a　　　　　　D. c＜a＜b

答案：

(1)A　如图所示,作直线x=2分别与曲线C₁,C₂,C₃,C₄相交,因为函数y = 2ⁿ为增函数,所以2²＞2^(1/2)＞2^(-1/2)＞2⁻²，所以交点由上到下对应的n值分别为2,1/2,-1/2,-2。

由图可知,曲线C₁,C₂,C₃,C₄对应的n值分别为2,1/2,-1/2,-2.故选A.
(2)A　因为a = 2^(4/3)=16^(1/3),b = 4^(2/3)=16^(1/3),c = 25^(1/3)，且幂函数y = x^(1/3)在R上单调递增,指数函数y = 16ⁿ在R上单调递增,所以b ＜ a ＜ c.故选A.