《2025年高考帮数学》

1.下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
A.$f'(x_0)$是函数$y = f(x)$在$x = x_0$附近的平均变化率
　B.$f'(x)$与$f'(x_0)(x_0$为常数)表示的意义相同
C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点　　　
　D.奇函数的导数还是奇函数

答案： 1.C 对于 A，$f^{\prime}(x_{0})$是函数$y = f(x)$在$x = x_{0}$处的瞬时变化率；对于 B，$f^{\prime}(x)$是一个函数，而$f^{\prime}(x_{0})(x_{0}$为常数)是函数$f^{\prime}(x)$在$x = x_{0}$时的函数值；对于 C，例如曲线$y = \cos x$在点$(0,1)$处的切线与曲线$y = \cos x$有无数个公共点；对于 D，奇函数的导数是偶函数.故 C 正确.

2.[教材改编]下列式子不正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
A.$(3x^{2}+\cos x)' = 6x-\sin x$　　　　　　　　　　
　B.$(\ln x - 2^{x})'=\frac{1}{x}-2^{x}\ln 2$
C.$(2\sin 2x)' = 2\cos 2x$　　　　　　　　　　　　
　D.$(\frac{\sin x}{x})'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}$

答案： 2.C 由导数公式和运算法则可知 A，B，D 正确.$(2\sin 2x)^{\prime}=4\cos 2x\neq 2\cos 2x$，故 C 不正确.

3.[全国卷Ⅰ]函数$f(x)=x^{4}-2x^{3}$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　(　　)
A.$y=-2x - 1$　　　　　　　　　　　　　　　
　B.$y=-2x + 1$
C.$y = 2x - 3$　　　　　　　　　　　　　　　　
　D.$y = 2x + 1$

答案： 3.B $\because f(x)=x^{4}-2x^{3}$，$\therefore f^{\prime}(x)=4x^{3}-6x^{2}$，$\therefore f^{\prime}(1)= - 2$，又$f(1)=1 - 2 = - 1$，$\therefore$所求的切线方程为$y + 1 = - 2(x - 1)$，即$y = - 2x + 1$.故选 B.

4.[2024河北省邢台市月考]在一次10米跳台跳水运动中,某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度$h$(单位:m)与起跳后的时间$t$(单位:s)存在函数关系:$h(t)=-4t^{2}+4t + 11$.该运动员在$t = 1$s时的瞬时速度(单位:m/s)为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
A.-4　　　　　　　　
　B.4　　　　　　　　　
　C.11　　　　　　　　
　D.-11

答案： 4.A 由$h(t)= - 4t^{2}+4t + 11$可得$h^{\prime}(t)= - 8t + 4$，故$h^{\prime}(1)= - 4$，即该运动员在$t = 1\ s$时的瞬时速度为$- 4\ m/s$.故选 A.

例1　(1)[2024河南省商丘市部分学校质检]下列求导正确的是　　　　　　　　　　(　　　)

A.$[(2x - 1)^2]' = 2(2x - 1)$

B.$(2^x + x^2)' = 2^x + 2x$

C.$(\sin x - \cos\frac{\pi}{3})' = \cos x + \frac{1}{3}\sin\frac{\pi}{3}$

D.$(\log_2x)' = \frac{\log_2e}{x}$
(2)[全国卷III]设函数$f(x) = \frac{e^x}{x + a}$. 若$f'(1) = \frac{e}{4}$,则$a = $________.

答案：
(1)D　[(2x - 1)²]' = 2(2x - 1)·2 = 4(2x - 1)，故A错误；(2^x + x²)' = 2^x ln 2 + 2x，故B错误；(sin x - cos(π/3))' = cos x，故C错误；(log₂x)' = 1/(x ln 2) = (log₂e)/x，故D正确。故选D。
(2)1　由于f'(x) = (e^x(x + a) - e^x)/(x + a)²，故f'
(1) = (ea)/(1 + a)² = e/4，解得a = 1。

训练1　(1)[多选/2023湖北省黄冈市黄州中学质检]下列求导运算正确的是　　　　　　　　　　(　　　)
A.$[\cos(-2x)]' = 2\sin x$　B.$(\frac{\ln x}{x})' = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
C.$(e^3)' = 3e^2$　　　　　　D.$(\lg 2x)' = \frac{1}{x\ln 10}$
(2)已知函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$,且满足$f(x) = 3xf'(1) + 2\ln x$,则$f'(2) = $　　　(　　　)
A.$-e - 1$　B.$-2$　　　C.$0$　　　　D.$e - 1$

答案：
(1)BD　[cos(-2x)]' = -sin(-2x)·(-2x)' = 2sin(-2x)，故A错误；(ln x / x)' = (x(ln x)' - x'ln x)/x² = (1 - ln x)/x²，故B正确；(e³)' = 0，故C错误；(lg 2x)' = 1/(2x ln 10)×(2x)' = 1/(x ln 10)，故D正确。故选BD。
(2)B　设f'
(1) = a，则f(x) = 3ax + 2ln x，f'(x) = 3a + 2/x，所以f'
(1) = 3a + 2 = a，解得a = -1，所以f'
(2) = 3×(-1) + 1 = -2。故选B。