《2025年高考帮数学》

训练1 （1）已知点$A(-1,1),B(1,2),C(0,-1)$，过点$C$的直线$l$与线段$AB$有公共点，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是 （ ）
A.$[-2,3]$
B.$[-2,0)\cup(0,3]$
C.$(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$
D.以上都不对

答案：
训练1
(1)C 如图所示，$\because$过点$C$的直线$l$与线段$AB$有公共点，$\therefore$直线$l$的斜率$k\geq k_{BC}$或$k\leq k_{AC}$，又$k_{BC}=\frac{2 - (-1)}{1 - 0}=3$，$k_{AC}=\frac{1 - (-1)}{-1 - 0}=-2$，$\therefore k\geq3$或$k\leq - 2$，$\therefore$直线$l$的斜率$k$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$，故选C。
　　　　　　　　　　　　　　

（2）直线$x + (a^2 + 1)y + 1 = 0$的倾斜角的取值范围是 （ ）
A.$[0,\frac{\pi}{4}]$
B.$[\frac{3\pi}{4},\pi)$
C.$[0,\frac{\pi}{4}]\cup(\frac{\pi}{2},\pi]$
D.$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\cup[\frac{3\pi}{4},\pi)$

答案：
(2)B 因为$a^2 + 1\neq0$，所以直线的斜率$k = -\frac{1}{a^2 + 1}$，设直线的倾斜角为$\alpha$，则$\tan\alpha = -\frac{1}{a^2 + 1}$，所以$-1\leq\tan\alpha＜0$，所以$\frac{3\pi}{4}\leq\alpha＜\pi$，故选B。

例2 （1）已知点$M$是直线$l:2x - y - 4 = 0$与$x$轴的交点，将直线$l$绕点$M$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$，得到的直线方程是 （ ）
A.$x + y - 3 = 0$
B.$x - 3y - 2 = 0$
C.$3x - y + 6 = 0$
D.$3x + y - 6 = 0$

答案： 例2
(1)D 设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$\tan\alpha = k = 2$，直线$l$绕点$M$按逆时针方向旋转$45^{\circ}$，所得直线的斜率$k'=\tan(\alpha + \frac{\pi}{4})=\frac{2 + 1}{1 - 2\times1}=-3$，又由题意得点$M(2,0)$，所以所求直线方程为$y = - 3(x - 2)$，即$3x + y - 6 = 0$，故选D。

（2）已知直线$l$过点$P(3,2)$，且与$x$轴、$y$轴的正半轴分别交于$A,B$两点，如图所示，当$\triangle ABO$的面积最小时，直线$l$的方程为__________.

答案：
(2)$2x + 3y - 12 = 0$ 解法一 设$A(a,0)$，$B(0,b)(a＞0,b＞0)$，则直线$l$的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$。因为$l$过点$P(3,2)$，所以$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$。因为$1=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\geq2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，整理得$ab\geq24$，所以$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}ab\geq12$，当且仅当$\frac{3}{a}=\frac{2}{b}$，即$a = 6$，$b = 4$时取等号。此时直线$l$的方程是$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，即$2x + 3y - 12 = 0$。
解法二 依题意知，直线$l$的斜率$k$存在且$k＜0$，则直线$l$的方程为$y - 2 = k(x - 3)$，则$A(3 - \frac{2}{k},0)$，$B(0,2 - 3k)$，$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}(2 - 3k)(3 - \frac{2}{k})=\frac{1}{2}[12 + (-9k)+\frac{4}{-k}]\geq\frac{1}{2}[12 + 2\sqrt{(-9k)\cdot\frac{4}{-k}}]=\frac{1}{2}\times(12 + 12)=12$，当且仅当$-9k=\frac{4}{-k}$，即$k = -\frac{2}{3}$（正值舍去）时，等号成立。所以所求直线$l$的方程为$2x + 3y - 12 = 0$。

训练2 在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，已知点$A(1,2),B(4,7)$，若点$C$满足$\overrightarrow{OC}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}(\alpha,\beta\in\mathbf{R},且\alpha + \beta = 1)$，则点$C$的轨迹方程为____________.

答案： 训练2 $5x - 3y + 1 = 0$ $\because$点$C$满足$\overrightarrow{OC}=\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}(\alpha,\beta\in\mathbf{R}$，且$\alpha+\beta = 1)$，$\therefore\overrightarrow{OC}=\alpha\overrightarrow{OA}+(1 - \alpha)\overrightarrow{OB}=\alpha(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{OB}$，$\therefore\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\alpha(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$，$\therefore\overrightarrow{BC}=\alpha\overrightarrow{BA}$，由共线向量基本定理可知，$A$，$B$，$C$三点共线，$\therefore$点$C$的轨迹为直线$AB$，又$A(1,2)$，$B(4,7)$，$\therefore$直线$AB$的方程为$\frac{y - 2}{7 - 2}=\frac{x - 1}{4 - 1}$，整理得$5x - 3y + 1 = 0$，故点$C$的轨迹方程为$5x - 3y + 1 = 0$。

例3 （1）已知点$A(2,5),B(4,1)$.若点$P(x,y)$在线段$AB$上，则$2x - y$的最大值为 （ ）
A.-1
B.3
C.7
D.8

答案： 例3
(1)C 依题意得$k_{AB}=\frac{5 - 1}{2 - 4}=-2$，则线段$l_{AB}:y - 1=-2(x - 4)$，$x\in[2,4]$，即$y = - 2x + 9$，$x\in[2,4]$，故$2x - y=2x-(-2x + 9)=4x - 9$，$x\in[2,4]$。设$h(x)=4x - 9$，$x\in[2,4]$，易知$h(x)=4x - 9$在$[2,4]$上单调递增，故当$x = 4$时，$h(x)_{\max}=4\times4 - 9 = 7$。

（2）已知直线$l$的方程为$(a + 1)x + y + 3 - a = 0(a\in\mathbf{R})$，则直线$l$过定点________；若直线$l$不经过第三象限，则实数$a$的取值范围是________.

答案：
(2)$(1,-4)$ $[3,+\infty)$ 直线$l:(a + 1)x + y + 3 - a = 0$可化为$a(x - 1)+x + y + 3 = 0$，令$\begin{cases}x - 1 = 0\\x + y + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = - 4\end{cases}$，$\therefore$直线$l$过定点$(1,-4)$。$\because$直线$l$的方程可化为$y = -(a + 1)x + a - 3$，且直线$l$不经过第三象限，$\therefore\begin{cases}-(a + 1)＜0\\a - 3\geq0\end{cases}$，解得$a\geq3$。

训练3 （1）[2024广东深圳模拟]在平面直角坐标系$xOy$中，已知动点$P(a,b)$到两直线$l_1:y = 2x$与$l_2:y = -\frac{1}{2}x + 1$的距离之和为$\sqrt{5}$，则$\frac{b}{a + 5}$的取值范围是________.

答案：
训练3
(1)$[-\frac{3}{11},\frac{9}{17}]$ 直线$l_1:y = 2x$与$l_2:y = -\frac{1}{2}x + 1$的方程化为一般式分别为$l_1:2x - y = 0$，$l_2:x + 2y - 2 = 0$，所以点$P(a,b)$到两直线的距离之和为$\frac{|2a - b|}{\sqrt{5}}+\frac{|a + 2b - 2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，即$|2a - b|+|a + 2b - 2| = 5$ ①。
当$\begin{cases}2a - b\geq0\\a + 2b - 2\geq0\end{cases}$时，①式变形为$3a + b = 7$；当$\begin{cases}2a - b\geq0\\a + 2b - 2＜0\end{cases}$时，①式变形为$a - 3b = 3$；当$\begin{cases}2a - b＜0\\a + 2b - 2\geq0\end{cases}$时，①式变形为$-a + 3b = 7$；当$\begin{cases}2a - b＜0\\a + 2b - 2＜0\end{cases}$时，①式变形为$-3a - b = 3$。则动点$P(a,b)$的轨迹为如图所示的正方形$ABCD$，$\frac{b}{a + 5}$的几何意义为正方形边上任意一点与$E(-5,0)$连线的斜率。计算得$C(-\frac{3}{5},-\frac{6}{5})$，$D(-\frac{8}{5},\frac{9}{5})$，$k_{CE}=-\frac{3}{11}$，$k_{DE}=\frac{9}{17}$，所以$\frac{b}{a + 5}$的取值范围是$[-\frac{3}{11},\frac{9}{17}]$。
　　　　　　　　　　　　　　

（2）[2023长春模拟]已知直线$l_1:x - my + 1 = 0$过定点$A$，直线$l_2:mx + y - m + 3 = 0$过定点$B$，$l_1$与$l_2$相交于点$P$，则$|PA| + |PB|$的最大值为________.

答案：
(2)$\sqrt{26}$ 直线$l_1:x - my + 1 = 0$过定点$A(-1,0)$；直线$l_2$的方程可化为$m(x - 1)+y + 3 = 0$，令$x = 1$，得$y = - 3$，所以直线$l_2$过定点$B(1,-3)$。因为$1\cdot m - m\cdot1 = 0$，所以$l_1\perp l_2$。因为$l_1$与$l_2$相交于点$P$，所以$|PA|^2+|PB|^2=|AB|^2=(-1 - 1)^2+(0 + 3)^2 = 13$。因为$\frac{|PA|^2+|PB|^2}{2}\geq(\frac{|PA|+|PB|}{2})^2$，所以$|PA|+|PB|\leq\sqrt{26}$，当且仅当$|PA|=|PB|=\frac{\sqrt{26}}{2}$时等号成立。