《2025年高考帮数学》

训练2 [2021新高考卷Ⅱ]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b = a + 1，c = a + 2.
(1)若2$\sin C$ = 3$\sin A$，求△ABC的面积.
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.

答案：
(1)由$2\sin C = 3\sin A$及正弦定理，得$2c = 3a$。
又$c = a + 2$，所以$a = 4$，$c = 6$，所以$b = a + 1 = 5$。
由余弦定理，得$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \frac{25 + 36 - 16}{2\times5\times6} = \frac{3}{4}$。
又$A\in(0,\pi)$，所以$\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}$，
所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\times5\times6\times\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$。
(2)存在。
由题意知$c ＞ b ＞ a$，要使$\triangle ABC$为钝角三角形，需$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} = \frac{a^{2} + (a + 1)^{2} - (a + 2)^{2}}{2\times a\times(a + 1)} = \frac{a - 3}{2a} ＜ 0$，
得$0 ＜ a ＜ 3$。
因为$a$为正整数，所以$a = 1$或$a = 2$。
当$a = 1$时，$b = 2$，$c = 3$，此时不能构成三角形；
当$a = 2$时，$b = 3$，$c = 4$，满足题意。
综上，存在正整数$a = 2$，使得$\triangle ABC$为钝角三角形。

例3 [2023全国卷乙]在△ABC中，已知∠BAC = 120°，AB = 2，AC = 1.
(1)求$\sin\angle ABC$；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD = 90°，求△ADC的面积.

答案：
(1)由余弦定理得$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC = 2^{2} + 1^{2} + 2\times2\times1\times\frac{1}{2} = 7$，得$BC = \sqrt{7}$。
由正弦定理得$\frac{AC}{\sin\angle ABC} = \frac{BC}{\sin\angle BAC}$，则$\sin\angle ABC = \frac{1\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$。
(2)解法一　如图，由$\sin\angle ABC = \frac{\sqrt{21}}{14}$，得
$\tan\angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{5}$，
又$\tan\angle ABC = \frac{DA}{AB} = \frac{DA}{2}$，所以$DA = \frac{2\sqrt{3}}{5}$，
故$\triangle ADC$的面积为$\frac{1}{2}DA\cdot AC\cdot\sin(120^{\circ} - 90^{\circ}) = \frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{3}}{5}\times1\times\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{10}$。
解法二　$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC\cdot AB\cdot\sin\angle BAC = \frac{1}{2}\times1\times2\times\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\frac{S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle BAD}} = \frac{\frac{1}{2}AC\cdot AD\cdot\sin\angle CAD}{\frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD} = \frac{\sin30^{\circ}}{2\times\sin90^{\circ}} = \frac{1}{4}$，
故$\triangle ADC$的面积为$\frac{1}{5}S_{\triangle ABC} = \frac{1}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{10}$。

例4 [2022全国卷乙]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\sin C\sin(A - B)=\sin B\sin(C - A)$.
(1)证明：$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$；
(2)若$a = 5$，$\cos A = \frac{25}{31}$，求△ABC的周长.

答案：
(1)解法一　由$\sin C\sin(A - B) = \sin B\sin(C - A)$可得，
$\sin C\sin A\cos B - \sin C\cos A\sin B = \sin B\sin C\cos A - \sin B\cos C\sin A$，
结合正弦定理$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$可得$a\cos B - b\cos A = b\cos A - a\cos C$，即$a\cos B + a\cos C = 2b\cos A$。
由余弦定理得$\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2} = b^{2} + c^{2} - a^{2}$，整理得$2a^{2} = b^{2} + c^{2}$。
解法二　因为$A + B + C = \pi$，
所以$\sin C\sin(A - B) = \sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^{2}A\cos^{2}B - \cos^{2}A\sin^{2}B = \sin^{2}A(1 - \sin^{2}B) - (1 - \sin^{2}A)\sin^{2}B = \sin^{2}A - \sin^{2}B$。
同理有$\sin B\sin(C - A) = \sin(C + A)\sin(C - A) = \sin^{2}C - \sin^{2}A$，
所以$\sin^{2}A - \sin^{2}B = \sin^{2}C - \sin^{2}A$，
由正弦定理可得$2a^{2} = b^{2} + c^{2}$。
(2)由
(1)及$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$得，$a^{2} = 2bc\cos A$，所以$2bc = 31$。
因为$b^{2} + c^{2} = 2a^{2} = 50$，
所以$(b + c)^{2} = b^{2} + c^{2} + 2bc = 81$，得$b + c = 9$，
所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 14$。