《2025年高考帮数学》

3. [教材改编]已知$A$船在灯塔$C$的北偏东$85^{\circ}$方向且$A$到$C$的距离为$2\ km$，$B$船在灯塔$C$的西偏北$25^{\circ}$方向且$B$到$C$的距离为$\sqrt{3}\ km$，则$A$，$B$两船的距离为 （ ）
A. $\sqrt{13}\ km$
B. $\sqrt{15}\ km$
C. $2\sqrt{3}\ km$
D. $3\sqrt{2}\ km$

答案：
3.A　画出图形如图所示，由题意可得∠ACB=(90° - 25°)+85° = 150°，又$AC = 2$，$BC=\sqrt{3}$，在△ABC中，由余弦定理可得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cdot\cos150^{\circ}=13$，所以$AB=\sqrt{13}$，即A，B两船的距离为$\sqrt{13}$km。

例1 [2023合肥市二检]如图,某地需要经过一座山两侧的D,E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A,B,C,在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°,B处的俯角为45°,C处的俯角为30°,且测得AB = 1.4 km,BD = 0.2 km,CE = 0.5 km,则拟修建的隧道DE的长为______.

答案： 0.7km 由题意知，∠PAB = 15°，∠PBC = 45°，∠PCB = 30°，所以∠APB = ∠PBC - ∠PAB = 30°，∠BPC = 180° - ∠PBC - ∠PCB = 105°，在△PAB中，由正弦定理得$\frac{AB}{\sin\angle APB}=\frac{PB}{\sin\angle PAB}$，则$\frac{1.4}{\sin 30^{\circ}}=\frac{PB}{\sin 15^{\circ}}$，所以PB = 2.8sin 15°(km)。
在△PBC中，由正弦定理得$\frac{PB}{\sin\angle PCB}=\frac{BC}{\sin\angle BPC}$，则$\frac{PB}{\sin 30^{\circ}}=\frac{BC}{\sin 105^{\circ}}$，所以$BC=\frac{PB}{\sin 30^{\circ}}\times\sin 105^{\circ}=2PB\times\sin 105^{\circ}=5.6\sin 15^{\circ}\cdot\sin 105^{\circ}=5.6\sin 15^{\circ}\cos 15^{\circ}=2.8\sin 30^{\circ}=1.4$(km)，所以DE = BC - BD - EC = 1.4 - 0.2 - 0.5 = 0.7(km)，即拟修建的隧道DE的长为0.7km。

例2 [2021全国卷甲]2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B' = 45°,∠A'B'C' = 60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA' - CC'约为(√3 ≈ 1.732) ( )

A.346
B.373
C.446
D.473

答案：
B 如图所示，根据题意过C作CE//C'B'，交BB'于E，过B作BD//A'B'，交AA'于D，则BE = 100，$C'B' = CE=\frac{100}{\tan 15^{\circ}}$ 。
在△A'C'B'中，∠C'A'B' = 75°，则$BD = A'B'=\frac{C'B'\times\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$。又在B点处测得A点的仰角为45°，所以$AD = BD=\frac{C'B'\times\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$，所以高度差AA' - CC' = AD + BE = $\frac{C'B'\times\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}+100=\frac{\frac{100}{\tan 15^{\circ}}\times\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}+100=\frac{100\sin 45^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}+100=\frac{100\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}+100=100(\sqrt{3}+1)+100\approx373$。故选B。

例3 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ = ______.

答案： $\frac{\sqrt{21}}{14}$ 在△ABC中，AB = 40，AC = 20，∠BAC = 120°。
由余弦定理，得$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos 120^{\circ}=2800$，所以$BC = 20\sqrt{7}$。
由正弦定理，得$\sin\angle ACB=\frac{AB}{BC}\cdot\sin\angle BAC=\frac{\sqrt{21}}{7}$。
由∠BAC = 120°，知∠ACB为锐角，故$\cos\angle ACB=\frac{2\sqrt{7}}{7}$，从而$\cos\theta=\cos(\angle ACB + 30^{\circ})=\cos\angle ACB\cos 30^{\circ}-\sin\angle ACB\sin 30^{\circ}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{21}}{7}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。

训练 (1)如图,为测量某塔的高度CD,在点A测得塔底在北偏东60°方向的点D处,塔顶C的仰角为30°.在点A的正东方向且距离D点50 m的B点测得塔底在北偏西45°方向,则塔的高度CD约为(参考数据:√6 ≈ 2.4) ( )

A.30 m
B.35 m
C.40 m
D.45 m

答案：
(1)C 由题意知，BD = 50 m，∠DAB = ∠DAC = 30°，∠DBA = 45°，在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}}=\frac{50}{\sin 30^{\circ}}$，则$AD = 50\sqrt{2}$m，所以$\tan\angle DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{50\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$CD=\frac{50\sqrt{6}}{3}\approx40$(m)，故塔的高度CD约为40 m。故选C。

(2)[多选]一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12√6海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12√3海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有( )
A.AD = 24海里
B.CD = 12海里
C.∠CDA = 60°或∠CDA = 120°
D.∠CDA = 60°

答案：

(2)ABD 如图，由题意得∠BAD = 75°，∠CAD = 30°，∠ADB = 60°，$AB = 12\sqrt{6}$海里，$AC = 12\sqrt{3}$海里 ，在△ABD中，易得B = 45°，由正弦定理得$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ}}$，则$AD=\frac{12\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24$(海里)，故A正确。在△ACD中，由余弦定理得$CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2\times AC\times AD\times\cos 30^{\circ}$，得$CD^{2}=(12\sqrt{3})^{2}+24^{2}-2\times 12\sqrt{3}\times 24\times\frac{\sqrt{3}}{2}=144$，所以CD = 12海里，故B正确。在△ACD中，由正弦定理得$\frac{CD}{\sin 30^{\circ}}=\frac{AC}{\sin\angle CDA}$，得$\sin\angle CDA=\frac{\frac{1}{2}\times 12\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故∠CDA = 60°或∠CDA = 120°，因为AD ＞ AC，所以∠CDA为锐角，所以∠CDA = 60°，故C错误，D正确。故选ABD。