《2025年高考帮数学》

训练5 [2023上海春季高考改编]如图，已知三棱锥P - ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA = AB = 3，AC = 4，M为BC的中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC，PC于点E，F.
(1)求直线PM与平面ABC所成角的正切值.
(2)证明：平面MEF//平面PAB，并求直线ME到平面PAB的距离.

答案：
训练5
(1)如图,连接AM.因为PA⊥平面ABC,所以∠PMA即直线PM与平面ABC所成的角.因为AB⊥AC,AB = 3,AC = 4,所以BC = √AB² + AC² = 5,又M为BC的中点,所以AM = 1/2BC = 5/2,所以在Rt△PAM中,tan∠PMA = PA/AM = 6/5,故直线PM与平面ABC所成角的正切值为6/5.
　　　　　　　　　　　　　　
(2)因为ME//平面PAB,MF//平面PAB,ME∩MF = M,且ME,MF⊂平面MEF,所以平面MEF//平面PAB.因为PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,所以PA⊥AE.又AB⊥AC,即AE⊥AB,而AB,PA⊂平面PAB,AB∩PA = A,所以AE⊥平面PAB,所以直线ME到平面PAB的距离等于AE的长.因为ME//平面PAB,ME⊂平面ABC,平面PAB∩平面ABC = AB,所以ME//AB,又M为BC的中点,所以E为AC的中点,所以AE = 1/2AC = 2.