《2025年高考帮数学》

训练3 （1）[2023全国卷乙]已知函数$f(x)=\sin(\omega x + \varphi)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$单调递增，直线$x = \frac{\pi}{6}$和$x = \frac{2\pi}{3}$为函数$y = f(x)$的图象的两条相邻对称轴，则$f(-\frac{5\pi}{12}) =$（ ）
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
（2）在函数①$y = \cos|2x|$，②$y = |\cos x|$，③$y = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$，④$y = \tan(2x - \frac{\pi}{4})$中，最小正周期为$\pi$的所有函数为（ ）
A. ①②③ B. ①③④
C. ②④ D. ①③
（3）函数$f(x)=3\sin(2x - \frac{\pi}{3} + \varphi) + 1,\varphi\in(0,\pi)$，且$f(x)$为偶函数，则$\varphi =$________，$f(x)$图象的对称中心为________.

答案：
(1)D 由题意得$\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，解得$|\omega| = 2$，易知$x = \frac{\pi}{6}$是$f(x)$的最小值点。若$\omega = 2$，则$\frac{\pi}{6}\times2+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$\varphi=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，于是$f(x)=\sin(2x-\frac{6\pi}{5}+2k\pi)=\sin(2x-\frac{5\pi}{6})$，$f(-\frac{5\pi}{12})=\sin(-\frac{5\pi}{12}\times2-\frac{5\pi}{6})=\sin(-\frac{5\pi}{3})=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；若$\omega = -2$，则$\frac{\pi}{6}\times(-2)+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，得$\varphi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\in \mathbf{Z})$，于是$f(x)=\sin(-2x-\frac{\pi}{6}+2k\pi)=\sin(-2x-\frac{\pi}{6})=\sin(2x-\frac{5}{6}\pi)$，所以$f(-\frac{5\pi}{12})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选D。
(2)A 对于①，$y = \cos|2x|=\cos 2x$，其最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$；对于②，$y = |\cos x|$的最小正周期为$\pi$；对于③，$y=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$；对于④，$y=\tan(2x-\frac{\pi}{4})$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$。所以最小正周期为$\pi$的所有函数为①②③。
(3)$\frac{5\pi}{6}$ $(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},1),k\in \mathbf{Z}$ $\because f(x)=3\sin(2x-\frac{\pi}{3}+\varphi)+1$为偶函数，$\therefore -\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}$，即$\varphi=\frac{5\pi}{6}+k\pi,k\in \mathbf{Z}$。又$\varphi\in (0,\pi)$，$\therefore \varphi=\frac{5\pi}{6}$，$\therefore f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{2})+1 = 3\cos 2x+1$。由$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z}$，得$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in \mathbf{Z}$，$\therefore f(x)$图象的对称中心为$(\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},1),k\in \mathbf{Z}$。

设$X=\omega x+\varphi$，由$X$取$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi$求出相应的$x$，通过列表(如下表所示)，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象.
　　　　

答案： ①$\frac{\frac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}$ ②$\frac{\pi - \varphi}{\omega}$ ③$\frac{\frac{3\pi}{2}-\varphi}{\omega}$ ④$\frac{2\pi - \varphi}{\omega}$

函数$y = \sin x$的图象通过变换得到$y = A\sin(\omega x+\varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,\varphi\neq0)$的图象的两种方法：
　　　　

答案： ⑤$\frac{1}{\omega}$ ⑥$A$ ⑦$\frac{1}{\omega}$ ⑧$y = \sin(\omega x+\varphi)$ ⑨$A$