《2025年高考帮数学》

训练1 [多选/2023惠州市二调]设抛物线C:$y^{2}=8x$的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3,1)为定点，则下列结论正确的是( )
A. 准线l的方程是x = -2
B. |ME| - |MF|的最大值为2
C. |ME| + |MF|的最小值为7
D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切

答案：
AD 由题意得，抛物线C的焦点F(2,0)，准线l的方程是x = -2，故A正确；|ME| - |MF| ≤ |EF| = $\sqrt{(3 - 2)^{2}+(1 - 0)^{2}}$ = $\sqrt{2}$，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，
∴|ME| - |MF|的最大值为$\sqrt{2}$，故B不正确；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则|ME| + |MF| = |ME| + |MA| ≥ |EB| = 5，当点M在线段EB上时等号成立，
∴|ME| + |MF|的最小值为5，故C不正确；设点M($x_{0}$, $y_{0}$)，线段MF的中点为D，则点D的横坐标$x_{D}$ = $\frac{x_{0}+2}{2}$ = $\frac{|MA|}{2}$ = $\frac{|MF|}{2}$，
∴以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确. 故选AD.

例2 （1）[2023全国卷乙]已知点A(1,$\sqrt{5}$)在抛物线C:$y^{2}=2px$上，则A到C的准线的距离为______.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，抛物线C:$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP. 若|FQ| = 6，则C的准线方程为______.

答案： （1）$\frac{9}{4}$ 将点A的坐标代入抛物线方程，得5 = 2p，于是$y^{2}$ = 5x，则抛物线的准线方程为x = - $\frac{5}{4}$，所以A到准线的距离为1 - ( - $\frac{5}{4}$) = $\frac{9}{4}$.
（2）x = - $\frac{3}{2}$ 解法一 由题易得|OF| = $\frac{p}{2}$，|PF| = p，∠OPF = ∠PQF，所以tan∠OPF = tan∠PQF，所以$\frac{|OF|}{|PF|}$ = $\frac{|PF|}{|FQ|}$，即$\frac{\frac{p}{2}}{p}$ = $\frac{p}{6}$，解得p = 3，所以C的准线方程为x = - $\frac{3}{2}$.
解法二 由题易得|OF| = $\frac{p}{2}$，|PF| = p，|PF|² = |OF|·|FQ|，即$p^{2}$ = $\frac{p}{2}$×6，解得p = 3，所以C的准线方程为x = - $\frac{3}{2}$.

训练2 （1）若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线x - 2y - 4 = 0上，则此抛物线的标准方程为______.
（2）如图，过抛物线$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C，若|BC| = 2|BF|，且|AF| = 3，则抛物线的方程为______.

答案：
（1）$y^{2}$ = 16x或$x^{2}$ = -8y 由x - 2y - 4 = 0，令x = 0，得y = -2；令y = 0，得x = 4. 所以抛物线的焦点是(4,0)或(0,-2)，故所求抛物线的标准方程为$y^{2}$ = 16x或$x^{2}$ = -8y.
（2）$y^{2}$ = 3x 如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，设|BF| = a，准线与x轴交于点G，则由已知得，|BC| = 2a，由抛物线的定义得，|BD| = a，故∠BCD = 30°，在Rt△ACE中，
∵|AC| = |AF| + |BF| + |BC| = 3 + 3a，2|AE| = |AC|，
∴3 + 3a = 6，
∴a = 1. 易知BD//FG，
∴$\frac{|BD|}{|GF|}$ = $\frac{|BC|}{|CF|}$，即$\frac{1}{p}$ = $\frac{2}{3}$，解得p = $\frac{3}{2}$，因此抛物线的方程为$y^{2}$ = 3x.

例3 [多选/2023新高考卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线$y = -\sqrt{3}(x - 1)$过抛物线C:$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点，且与C交于M,N两点，l为C的准线，则 （ ）
A. p = 2
B. |MN| = $\frac{8}{3}$
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形

答案： AC 由题意，易知直线y = - $\sqrt{3}$(x - 1)过点(1,0). 对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1,0)，所以$\frac{p}{2}$ = 1，即p = 2，所以A选项正确. 对于B，不妨设M($x_{1}$, $y_{1}$)，N($x_{2}$, $y_{2}$)，$x_{1}$ ＜ $x_{2}$，联立方程得$\begin{cases}y = - \sqrt{3}(x - 1)\\y^{2} = 4x\end{cases}$，消去y并整理得3$x^{2}$ - 10x + 3 = 0，解得$x_{1}$ = $\frac{1}{3}$，$x_{2}$ = 3. 由抛物线的定义得，|MN| = $x_{1}$ + $x_{2}$ + p = $\frac{10}{3}$ + 2 = $\frac{16}{3}$，故B选项错误. 对于C，由以上分析易知，l的方程为x = -1，以MN为直径的圆的圆心坐标为($\frac{5}{3}$, - $\frac{2\sqrt{3}}{3}$)，半径r = $\frac{1}{2}$|MN| = $\frac{8}{3}$ = $\frac{5}{3}$ + 1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确. 对于D，由两点间距离公式可得|MN| = $\frac{16}{3}$，|OM| = $\frac{\sqrt{13}}{3}$，|ON| = $\sqrt{21}$，故D选项错误. 综上，选AC.

训练3 [多选]已知抛物线C:$y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点为F，直线l的斜率为$\sqrt{3}$且经过点F，直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF| = 8，则以下结论正确的是 （ ）
A. p = 4
B. $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{FA}$
C. |BD| = 2|BF|
D. |BF| = 4

答案：
ABC 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M. 设抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF| = p，由于直线l的斜率为$\sqrt{3}$，所以倾斜角为60°，因为AE//x轴，所以∠EAF = 60°. 由抛物线的定义可知，|AE| = |AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP = ∠AEF = 60°，则∠PEF = 30°，所以|AF| = |EF| = 2|PF| = 2p = 8，所以p = 4，A选项正确；因为|AE| = |EF| = 2|PF|，PF//AE，所以F为AD的中点，则$\overrightarrow{DF}$ = $\overrightarrow{FA}$，B选项正确；因为∠DAE = 60°，所以∠ADE = 30°，所以|BD| = 2|BM| = 2|BF|，C选项正确；因为|BD| = 2|BF|，所以|BF| = $\frac{1}{3}$|DF| = $\frac{1}{3}$|AF| = $\frac{8}{3}$，D选项错误. 故选ABC.

例4 [2023温州市第一次适应性考试]已知P为直线y = - x - 1上一动点,过点P作抛物线C:x² = 2y的两条切线,切点分别记为A,B,则原点O到直线AB距离的最大值为　　　　(　　　)
A. 1　　
　B.√2　　
　C.√3　　
　D. 2

答案： B 设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，因为$y = \frac{1}{2}x^{2}$，所以$y' = x$。根据导数的几何意义可知直线$PA:y - y_{1} = x_{1}(x - x_{1})$，化简得$y = x_{1}x - y_{1}$。同理可得，直线$PB:y = x_{2}x - y_{2}$。因为点$P$是直线$y = -x - 1$上一动点，所以不妨设$P(t,-t - 1)$，则$-t - 1 = x_{1}t - y_{1}$，$-t - 1 = x_{2}t - y_{2}$，所以直线$AB:tx - y + t + 1 = 0$。直线$tx - y + t + 1 = 0$过定点$G(-1,1)$，所以当$AB\perp OG$时，原点$O$到直线$AB$的距离最大，其最大距离为$|OG| = \sqrt{2}$。故选B.（另解：原点$O$到直线$AB$的距离$d = \frac{|t + 1|}{\sqrt{t^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{t^{2} + 2t + 1}{t^{2} + 1}} = \sqrt{1 + \frac{2t}{t^{2} + 1}}\leq\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$，当且仅当$t = 1$时取等号）