《2025年高考帮数学》

(1)等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的①____都等于②____,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
(2)等差中项　
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的③____,且A=④____.
(3)等差数列的通项公式及其变形　
通项公式:⑤$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$,其中$a_{1}$是首项,d是公差.
　通项公式的变形:$a_{n}=a_{m}+(n - m)d(m,n\in N^{*})$.
　说明 由$a_{n}=dn+(a_{1}-d)$可知,当d≠0时,$a_{n}$可看作关于n的一次函数.

答案： ①差　②同一个常数
③等差中项　④$\frac{a + b}{2}$
⑤$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d$

2.等差数列的前n项和
（1）等差数列的前n项和公式:$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=$⑥$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$.
(2)由$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=\frac{d}{2}n^{2}+(a_{1}-\frac{d}{2})n$可知,当d≠0时,$S_{n}$可看作关于n的二次函数,故可借助二次函数的图象和性质来研究$S_{n}$的最值问题.

答案： ⑥$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$

3.等差数列的性质

（1)等差数列项的性质

a.若k + l = m + n(k,l,m,n∈N*),则$a_{k}+a_{l}=a_{m}+a_{n}$,特别地,若p + q = 2m,则⑦____.反之不一定成立.
　b.若$\{a_{n}\}$公差为d,则$\{a_{2n}\}$也是等差数列,公差为⑧____.
　c.$\{pa_{n}+qb_{n}\}$(p,q为常数)也是等差数列.
　d.若$\{a_{n}\}$与$\{b_{n}\}$有公共项,则$\{a_{n}\}$与$\{b_{n}\}$的公共项从小到大排成的新数列也是等差数列,首项是第一个相同的公共项,公差是$\{a_{n}\}$与$\{b_{n}\}$的公差的⑨____.
　e.若$\{a_{n}\}$公差为d,则$a_{k},a_{k + m},a_{k + 2m},\cdots(k,m\in N^{*})$组成公差为⑩____的等差数列,即下标成等差数列,则相应的项也成等差数列.
　f.若c是非零常数,则$\{c^{a_{n}}\}$是等比数列.
(2)等差数列前n项和的性质
　设$S_{n}$为等差数列$\{a_{n}\}$的前n项和.　
a.$\{\frac{S_{n}}{n}\}$是等差数列,其首项等于⑪____,公差是$\{a_{n}\}$的公差的$\frac{1}{2}$.
　b.$S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m},\cdots(m\in N^{*})$是等差数列.
　c.两个等差数列$\{a_{n}\}$,$\{b_{n}\}$的前n项和$S_{n}$,$T_{n}$之间的关系为$\frac{S_{2n - 1}}{T_{2n - 1}}=$⑫____.

答案： ⑦$a_{p}+a_{q}=2a_{m}$　⑧$2d$　⑨最小公倍数　⑩$md$
⑪$a_{1}$ ⑫$\frac{a_{n}}{b_{n}}$