《2025年高考帮数学》

训练 [12分]已知数列{an}和{bn}满足a1 = 2，b1 = 1，an+1 = 2an，b1 + 12b2 + 13b3 + ⋯ + 1nbn = bn+1 - 1(n∈N*).
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn = {1bnbn+2,n为奇数, - 1an,n为偶数,数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，T2n≥T2k恒成立，求正整数k的值.

答案：
(1)因为$a_{n + 1}=2a_{n}$，所以$\{a_{n}\}$是以2为首项，2为公比的等比数列，故$a_{n}=2^{n}$。（2分）当$n = 1$时，$b_{1}=b_{2}-1$，解得$b_{2}=2$。由题知$b_{1}+\frac{1}{2}b_{2}+\frac{1}{3}b_{3}+\cdots+\frac{1}{n}b_{n}=b_{n + 1}-1$， ①当$n\geq2$时，$b_{1}+\frac{1}{2}b_{2}+\frac{1}{3}b_{3}+\cdots+\frac{1}{n - 1}b_{n - 1}=b_{n}-1$， ②① - ②得，$\frac{1}{n}b_{n}=b_{n + 1}-b_{n}$，即$\frac{b_{n + 1}}{n + 1}=\frac{b_{n}}{n}(n\geq2)$。当$n = 1$时，$\frac{b_{2}}{2}=\frac{b_{1}}{1}=1$也满足上式。所以$\{\frac{b_{n}}{n}\}$为常数列，且$\frac{b_{n}}{n}=\frac{b_{1}}{1}=1$，所以$b_{n}=n$。故$a_{n}=2^{n}$，$b_{n}=n$。（5分）
(2)因为对任意$n\in N^{*}$，$T_{2n}\geq T_{2k}$恒成立，所以只需求$T_{2n}$的最小值即可。由
(1)知，$a_{n}=2^{n}$，$b_{n}=n$，所以当$n\geq2$时，$T_{2n}-T_{2n - 2}=c_{2n - 1}+c_{2n}=\frac{1}{b_{2n - 1}b_{2n + 1}}-\frac{1}{a_{2n}}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}-\frac{1}{2^{2n}}=\frac{1}{4n^{2}-1}-\frac{1}{4^{n}}$，（7分）当$n = 2$时，$T_{4}-T_{2}=\frac{1}{4n^{2}-1}-\frac{1}{4^{n}}=\frac{1}{15}-\frac{1}{16}＞0$，当$n\geq3$时，$4^{n}=(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n})×2^{n}＞(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2})×2^{3}=8[1 + n+\frac{n(n - 1)}{2}]=4n^{2}+4n + 8＞4n^{2}-1$，则$\frac{1}{4n^{2}-1}-\frac{1}{4^{n}}＞0$。（10分）综上可知$T_{2n}-T_{2n - 2}＞0$，故$T_{2n}$随着$n$的增大而增大，故$T_{2n}\geq T_{2}$，故$k = 1$。（12分）